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题型：证明题题类：难易度：困难

2024学年浙江省杭州市萧山区宁围初级中学中考数学一模模拟试题

如图，抛物线y＝x²＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在B左边），与y轴交于点C．

（1）、若A（﹣1，0），B（3，0）两点，求该抛物线的解析式；

（2）、在（1）中位于第四象限内的抛物线上是否存在点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由；

（3）、直线y＝1与抛物线y＝x²＋bx＋c交于抛物线对称轴右侧的点为点D，点E与点D关于x轴对称．试判断直线DB与直线AE的位置关系，并证明你的结论．

举一反三

已知关于x的一元二次方程x²+mx+n=0的两个实数根分别为x₁=a，x₂=b（a＜b），则二次函数y=x²+mx+n中，当y＜0时，x的取值范围是（　　）

定义[a，b，c]为函数y=ax²+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：

①当m=﹣3时，函数图象的顶点坐标是（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；

②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 $\text{[math]}$ ；

③当m＜0时，函数在 $\text{[math]}$ 时，y随x的增大而减小；

④当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点．

其中正确的结论有{#blank#}1{#/blank#} ．（只需填写序号）

已知抛物线C₁：y=x²+2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线C₂：y=ax²+bx+c经过点B，与x轴的另一个交点为E（﹣4，0），与y轴交于点D（0，2）．

如图，已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ {#blank#}1{#/blank#}

【问题探究】

如图①，是一张直角三角形纸片， $\text{[math]}$ ，小明想从中剪出一个以 $\text{[math]}$ 为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线 $\text{[math]}$ 剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为____________；

【问题解决】

如图②，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 边上的高 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 上，顶点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，则矩形 $\text{[math]}$ 面积的最大值为____________；（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）

【拓展延伸】

如图③有一块“缺角矩形” $\text{[math]}$ ，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（ $\text{[math]}$ 为所剪出矩形的内角），则矩形的面积为____________．

如图，抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为常数）经过 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两点，其顶点为 $\text{[math]}$ ．

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