- 二一组卷

题型：综合题题类：难易度：普通

2024年浙江省衢州市初中学业水平考试数学模拟预测题

随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图．

（1）、喷水口A离地高度为 $\text{[math]}$ ，喷出的水柱在离喷水口水平距离为 $\text{[math]}$ 处达到最高，高度为 $\text{[math]}$ ，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处．

①以点O为坐标原点， $\text{[math]}$ 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，求出抛物线的解析式；

②求喷灌器底端O到点B的距离；

（2）、现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形 $\text{[math]}$ （如图3），其中高 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ．宽 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高 $\text{[math]}$ ，使水柱落在花坛的上方 $\text{[math]}$ 边上，求h的取值范围．

举一反三

体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ 如果曲线APB表示的是落点B离点O最远的一条水流 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，水流喷出的高度 $\text{[math]}$ 米 $\text{[math]}$ 与水平距离 $\text{[math]}$ 米 $\text{[math]}$ 之间的关系式是 $\text{[math]}$ ，那么圆形水池的半径至少为{#blank#}1{#/blank#}米时，才能使喷出的水流不至于落在池外.

有一个直径 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的圆形喷水池，如图1，四周安装一圈喷头，喷射水柱呈抛物线型，在水池中心O处立着圆柱形实心石柱，各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点M处汇合，如图2，水柱在距水池中心 $\text{[math]}$ 处到达最高，高度为 $\text{[math]}$ ．

根据以下素材，探索完成任务．

素材 $\text{[math]}$	如图1，一个移动喷灌架射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是 $\text{[math]}$ 米．当喷射出水流距离喷水头 $\text{[math]}$ 米时，达到最大高度 $\text{[math]}$ 米．
素材 $\text{[math]}$	现将喷灌架置于坡度为 $\text{[math]}$ 的坡地底部点 $\text{[math]}$ 处．草坡的长度为 $\text{[math]}$ 米．
问题解决
任务 $\text{[math]}$	请在图 $\text{[math]}$ 中建立适当的平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式．
任务 $\text{[math]}$	当喷灌架底部位于点 $\text{[math]}$ 处时，请通过计算说明水流能否喷灌到草坡最远处．
任务 $\text{[math]}$	草坡上距离 $\text{[math]}$ 的水平距离为 $\text{[math]}$ 米处有一棵高度为 $\text{[math]}$ 米的树 $\text{[math]}$ 需要被喷灌，当喷灌架底部仍然在点 $\text{[math]}$ 处时，请通过计算说明树 $\text{[math]}$ 能否被灌溉到．现将喷灌架向正后方向移动 $\text{[math]}$ 米，若要使树 $\text{[math]}$ 被喷灌到，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

设计喷水方案
素材1	图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心 $\text{[math]}$ 处达到最高，高度为 $\text{[math]}$ ，水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，高 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 米
素材1
素材2	如图3、图4，拟将在圆柱形蓄水池中心处建一能伸缩高度的喷水装置 $\text{[math]}$ ，要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．经调研，目前市场有两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线．其中，甲喷水头以点P为最高点向四周喷射水柱(如图3)，乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为 $\text{[math]}$ (如图4)．
问题解决
任务1	确定水柱形状	在图2中以点O为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，求左边这条抛物线的函数表达式．
任务2	选择喷水装置甲，确定喷水装置的最高高度	若选择甲装置(图3)，为防止水花溅出，当落水点G、M之间的距离满足 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 不能再升高，求此时 $\text{[math]}$ 的最高高度．
任务3	选择喷水装置乙，拟定喷水装置的高度范围	若选择乙装置(图4)，为了美观，要求 $\text{[math]}$ 喷出的水柱高度不低于 $\text{[math]}$ ，求喷水装置 $\text{[math]}$ 高度的变化范围．