- 二一组卷

题型：解答题题类：难易度：普通

【全品中考】复习方案数学作业手册B本课时训练(二十)尺规作图

用尺规作“三等分任意角” 是数学史上一个著名难题，它已经被数学家伽罗瓦用《近世代数》和《群论》证明是不可能的．但对于特定度数的已知角，如 $\text{[math]}$ 角， $\text{[math]}$ 角等，是可以用尺规进行三等分的．下面是小明的探究过程：

已知：如图① $\text{[math]}$ ．

求作：射线 $\text{[math]}$ 三等分 $\text{[math]}$ ．

作法：如图②，

①在射线 $\text{[math]}$ 上任取一点 $\text{[math]}$ ；

②分别以点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径画弧，两弧在 $\text{[math]}$ 上方交于点 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 下方交于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ；

③作直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；

④以点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作圆，交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ (点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 重合)；

⑤作射线 $\text{[math]}$ ．

所以射线 $\text{[math]}$ 即为所求射线．

（1）、利用直尺和圆规，依作法补全图形 (保留作图痕迹)

（2）、完成下面的证明．

证明： $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 为等边三角形．

$\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径，

$\text{[math]}$ °

又 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ )(填推理的依据)．

$\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ，

即射线 $\text{[math]}$ 三等分 $\text{[math]}$ ．

举一反三

如图，在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，连结 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．

尺规作图：

如图，以 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 为直径作 $\text{[math]}$ 交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，恰有 $\text{[math]}$ ．

如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形 $\text{[math]}$ 分割成 $\text{[math]}$ 的小正方形网格，在该矩形边上取点 $\text{[math]}$ ，来表示 $\text{[math]}$ 的度数．阅读以下作法，并回答下列问题：

作法(如图)	结论
①在 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ．	$\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ．
②以点 $\text{[math]}$ 为圆心，8为半径作弧，与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．	$\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ．
③分别以点O，P₂为圆心，大于OP_2长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，连结EF与BC相交于点P_3．	……
④以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，与射线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．	……