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题型：实践探究题题类：难易度：困难

广西壮族自治区柳州市柳南区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

【探究与证明】

【问题背景】从小学到中学，一副小小的三角板几乎是每个人上学必备的最简单、实用的学习及探究数学问题的工具.在一次数学兴趣小组活动中，老师组织同学们用三角板工具开展数学探究活动.

【操作思考】彬彬和明明同学将两块一大一小的三角板按照如图1所示方式摆放，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .他们尝试着将三角板 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转，发现在三角板 $\text{[math]}$ 旋转过程中，顶点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 边的距离是不断变化的，他们经过反复操作、分析、推理和运算，提出了以下的数学问题.请你来解答这些问题.

图1 图2 备用图

（1）、两块三角板按照图1所示的方式摆放时.求点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离；

（2）、当 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 上时（如图2），延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

求点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离；

（3）、若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一条直线上，求点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离.

举一反三

如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为{#blank#}1{#/blank#}．

如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．

如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB＝6，△ABF的面积是24，则FC等于（）

等腰三角形一腰长为5，一边上的高为4，则其底边长为{#blank#}1{#/blank#}.

如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 外接圆的直径， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上任一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的面积最大时， $\text{[math]}$ 的长为{#blank#}1{#/blank#}

如图1，已知，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D在AB上，且 $\text{[math]}$ ，点P，Q分别从点D，B出发沿线段 $\text{[math]}$ 向终点B，C匀速移动，P，Q两点同时出发，同时到达终点．设 $\text{[math]}$ ．

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