- 二一组卷

题型：解答题题类：常考题难易度：普通

小学奥数系列5-7-1数值原理与数的进制

如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”。例如，99就是一个巧数，因为9×9＋（9＋9）＝99。可以证明，所有的巧数都是两位数。请你写出所有的巧数。

举一反三

在电脑里先输入一个数 x，它会按给定的指令 F 进行如下运算：如果 x 是偶数，就把它除以2；如果 x 奇数，就把它加上 3，运算结果记为 F（x）．如 F（16）= 8，F（11）= 14，当 F{F[F（x）]}= 27，则原来输入的数 x 的最大值是{#blank#}1{#/blank#}。

如果一个自然数 $\text{[math]}$ 的个位数字不为0，且能分解成 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 都是两位数， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数 $\text{[math]}$ 为“合和数”，并把数 $\text{[math]}$ 分解成 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的过程，称为“合分解”。

例如：因为 $\text{[math]}$ ， 21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，所以609是“合和数”。又如因 $\text{[math]}$ ， 18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10，所以234不是“合和数”。

定义一神运算“θ”，对于任何两个正数x和y，有xθy= $\text{[math]}$ 成立，则计算5θ3θ1的结果是{#blank#}1{#/blank#}。

若一个三位自然数各个数位上的数字均不相同且后一位减去前一位的差都是一个固定的常数，则称这个三位自然数为“等差数”，并且称这个固定的常数为这个“等差数”的公差，如：123， $\text{[math]}$ ，则123为“等差数”，这个等差数的公差为1，如321， $\text{[math]}$ ，则321也是等差数，这个等差数的公差为 $\text{[math]}$ ；125， $\text{[math]}$ ，则125不是“等差数”。

材料一：我们可以将任意三位数记为100a+10b+c(其中a、b、c分别表示该数的百位数字、十位数字和个位数字)；

材料二：一个三位数，各个数字都不相同且均不为0，将这种三位数的三个数位上的数字重新排序，可得到五个不同的三位数，将这五个数与原数共六个数求和，我们把所求的和与111的商称为原数的“和商"。例如：三位数 m=123，可以得到 132、321、312、213、231这5个新数，则六个数的和为 123+132+321+312+231+213=1332，1332÷111=12，所以 123的“和商”为 12。

对于大于0的自然数n规定一种与运算K①当n为奇数时，K(n)=3n+1：②当n为偶数时，K(n)等于连续被2整除，直到商为奇数。将P次“K”运算记作K^P ，如K¹(5)=3×5+1=16，K²(5)=K¹(16)=16÷2÷2÷2÷2=1，K³(5)=3×1+1=4，K⁴(1)=4÷2÷2=1

计算：①K¹(2016) ②K⁵(19) ③K²⁰¹⁷(19)

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