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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

山东省济南市市中区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图1，小明在证明这个定理时，通过延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，证明△ADE $\text{[math]}$ △CFE，再证明四边形DBCF是平行四边形，即可得证．

（1）、【类比迁移】如图2，AD是BC边的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AC＝BF，求证：AE＝EF．

小明发现可以类比以上思路进行证明．

证明：如图2，延长AD至点M，使MD＝FD，连接MC，……

请你根据小明的思路完成证明过程．

（2）、【方法运用】如图3，在菱形ABCD中，∠D＝60°，点E为射线BC上一个动点(在点C右侧)，把线段EC绕点E逆时针旋转120°得到线段BC′，连接BC′，点F是BC′的中点，连接AE、CF、EF．

①请你判断线段EF和AE的数量关系是 ▲ ，并说明理由；

②若菱形ABCD的边长为6，CF＝ $\text{[math]}$ CE，请直接写出CF的长．

举一反三

如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 交于点 O ，点 E 是 CD 边中点，若 OE＝3，则AD 的长为（）

在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一动点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，D是AC的中点.将一块锐角为45°的直角三角尺AED(其中∠EAD=∠EDA=45°，AE=DE)如图放置，使三角尺最长边的两个端点分别与A，D重合，连结BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量关系及位置关系，并说明理由.

【概念呈现】

当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形.若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的"等腰直角线"，把这个四边形叫做"等腰直角四边形"；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的"真等腰直角线"，把这个四边形叫做"真等腰直角四边形".

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 $\text{[math]}$ ，点B为x轴上一动点，以 $\text{[math]}$ 为边在直线 $\text{[math]}$ 的右侧作等边三角形 $\text{[math]}$ ．若点P为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长的最小值为{#blank#}1{#/blank#}．

如图①， $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，点D、点E分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点．

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