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题型：填空题题类：常考题难易度：容易

浙江省绍兴市新昌县2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷

如图，点A，B，C是 $\text{[math]}$ 上的三个点，∠C＝50°，则∠AOB＝.

举一反三

用一把带有刻度的直尺，①可以画出两条平行的直线a与b，如图⑴；②可以画出∠AOB的平分线OP，如图⑵所示；③可以检验工件的凹面是否为半圆，如图⑶所示；④可以量出一个圆的半径，如图⑷所示．这四种说法正确的个数有（）

在数学活动中，我们已经学习了四点共圆的条件：如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上，简称“四点共圆”．如图，已知四边形ABCD，AD=4，CD=3，AC=5，cos∠BCA=sin∠BAC= $\text{[math]}$ ，求∠BDC的大小．

如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边及直角三角板ABD的直角边重合于AB，其中量角器0刻度线的端点与点A重合，点P从A处出发沿AD方向以每秒 $\text{[math]}$ cm的速度移动，CP与量角器的半圆弧交于点E，已知AB=10cm，第5秒时，点E 在量角器上对应的读数是{#blank#}1{#/blank#}度．

如图，⊙O的直径为10，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．

下面是小于同学设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：直线 $\text{[math]}$ 及直线 $\text{[math]}$ 外一点P．

求作：直线 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ．

小于同学的作法如下：

（1）在直线 $\text{[math]}$ 的下方取一点O；

（2）以点O为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径画弧，交直线 $\text{[math]}$ 于点C，D（点C在左侧），连接 $\text{[math]}$ ；

（3）以点D为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径画弧，与弧 $\text{[math]}$ 交于点Q；

（4）作直线 $\text{[math]}$ ，所以直线 $\text{[math]}$ 即为所求．

请你依据小于同学设计的尺规作图过程，完成下列问题．

【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即若弦 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

【定理证明】（1）如图1，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

【解决问题】（2）如图2， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的弦， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径．

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