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题型：综合题题类：模拟题难易度：困难

湖南省长沙市长郡教育集团2021年数学中考一模试卷

如果关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 $\text{[math]}$ 倍，则称这样的方程为“k系方程”.如方程 $\text{[math]}$ 的两根分别为： $\text{[math]}$ ，则方程 $\text{[math]}$ 为“2系方程”.

（1）、下列方程是“3系方程”的是（填序号即可）；

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ .

（2）、若关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 是“2系方程”.

①求证： $\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ ，且关于x的函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时的最大值为1，求a的值.

举一反三

已知m，n是方程x²﹣2x﹣1=0的两根，且（2m²﹣4m+a）（3n²﹣6n﹣7）=8，则a的值等于（　　）

阅读材料：设一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x₁、x₂ ，则两根与方程系数之间有如下关系：x₁＋x₂＝－ $\text{[math]}$ ，x₁·x₂＝ $\text{[math]}$ .根据该材料填空：已知x₁、x₂是方程x²＋6x＋3＝0的两实数根，则 $\text{[math]}$ 的值为{#blank#}1{#/blank#}．

已知α，β是方程x²+2x﹣3=0的两个实数根，求下列各式的值．

阅读材料：已知方程a² $\text{[math]}$ 2a $\text{[math]}$ 1=0，1 $\text{[math]}$ 2b $\text{[math]}$ b²=0且ab≠1，求 $\text{[math]}$ 的值.

解：由a² $\text{[math]}$ 2a $\text{[math]}$ 1=0及1 $\text{[math]}$ 2b $\text{[math]}$ b²=0，

可知a≠0，b≠0，

又∵ab≠1， $\text{[math]}$ .

1 $\text{[math]}$ 2b $\text{[math]}$ b²=0可变形为

$\text{[math]}$ ，

根据a² $\text{[math]}$ 2a $\text{[math]}$ 1=0和 $\text{[math]}$ 的特征.

$\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是方程x² $\text{[math]}$ 2x $\text{[math]}$ 1=0的两个不相等的实数根，

则 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ .

根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答.

已知：3m² $\text{[math]}$ 7m $\text{[math]}$ 2=0，2n²+7n $\text{[math]}$ 3=0且mn≠1，求 $\text{[math]}$ 的值.

已知关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ ．

二次函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，y随x的增大而{#blank#}1{#/blank#}．（填“增大”或“减小”）

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