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题型:解答题 题类:模拟题 难易度:困难

山东省青岛市李沧区2021年中考数学二模试卷

(问题)用n边形的对角线把n边形分割成(n-2个三角形,共有多少种不同的分割方案

(探究)为了解决上面的数学问题,我们采取一般问题特殊化的策略,先从最简单情形入手,再逐次递进转化,最后猜想得出结论.不妨假设n边形的分割方案有 种.

探究一:用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形,共有多少种不同的分割方案?如图①,图②,显然,只有2种不同的分割方案.所以,

探究二:用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形,共有多少种不同的分割方案?不妨把分割方案分成三类:

第1类:如图③,用点 连接,先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形,再把四边形分割成2个三角形,由探究一知,有 种不同的分割方案,所以,此类共有 种不同的分割方案.

第2类:如图④,用点 连接,把五边形分割成3个三角形,有1种不同的分割方案,可视为 种分割方案.

第3类:如图⑤,用点 连接,先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形,再把四边形分割成2个三角形,由探究一知,有f(4)种不同的分割方案,所以,此类共有f(4)种不同的分割方案.

所以, (种)

探究三:用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形,共有多少种不同的分割方案?不妨把分割方案分成四类:

第1类:如图⑥,用 连接,先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形,再把五边形分割成3个三角形,由探究二知,有 种不同的分割方案,所以,此类共有 种不同的分割方案.

第2类:如图⑦,用 连接,先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形.再把四边形分割成2个三角形,由探究一知,有 种不同的分割方案.所以,此类共有 种分割方案.

第3类:如图⑧,用 连接,先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形.再把四边形分割成2个三角形,由探究一知,有 种不同的分割方案.所以,此类共有 种分割方案.

第4类:如图,用 连接,先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形,再把五边形分割成3个三角形,由探究二知,有 种不同的分割方案.所以,此类共有 种分割方案.

所以,

(种)

探究四:用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形,则 的关系为 ,共有种不同的分割方案.

……

(结论)用 边形的对角线把 边形分割成 个三角形,共有多少种不同的分割方案 ?(直接写出 之间的关系式,不写解答过程)

(应用)用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形,共有多少种不同的分割方案?(应用上述结论中的关系式求解)

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