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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

山西省运城市万荣县2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

综合与实践：

问题情境：

数学活动课上，老师和同学们一起以“矩形的旋转”开展数学活动．具体操作如下：

第一步：如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 叠放在一起，这时对角线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 互相重合．

第二步：固定矩形 $\text{[math]}$ ，将矩形 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 逆时针方向旋转，直到点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时停止．

（1）、问题解决：

奋进小组发现：在旋转过程中，当边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，如图2、图3所示，请写出线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 始终存在的数量关系，并利用图2说明理由．

（2）、奋进小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形 $\text{[math]}$ 时，如图3所示，请你猜测四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并试着证明你的猜想．

（3）、探索发现：

奋进小组还发现在问题（2）中的四边形 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 与旋转角 $\text{[math]}$ 存在着特定的数量关系，请你写出这一关系，无需说明理由．

举一反三

如图点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而成，则旋转的角度为（）

如图，AB=16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧 $\text{[math]}$ 于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP．

如图1，等边△ABC中，CE平分∠ACB，D为BC边上一点，且DE=CD，连接BE．

如图，△OAB绕点O逆时针旋转70°得到△OCD，若∠A=110°， ∠D=30°，则∠α的度数是（）

如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG=30°．某班学习委员得到四个结论：①DC=3OG；②OG= $\text{[math]}$ BC；③ $\text{[math]}$ OGE是等边三角形；④S_△AOE= $\text{[math]}$ S_矩形ABCD ，问：学习委员得到结论正确的是{#blank#}1{#/blank#}．（填写所有正确结论的序号）

如图，在 $\text{[math]}$ 长方形的网格中，每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C均为格点．请你用一把无刻度直尺完成作图，保留作图痕迹．

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