我们知道有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似的，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.

题型：综合题题类：常考题难易度：困难

吉林省长春外国语学校2016-2017学年七年级下学期期末考试数学试题

（1）、请写出一个你学过的四边形中是等对边四边形的图形的名称.

（2）、如图1，在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .请你写出与 $\text{[math]}$ 相等的角.

（3）、我们易证图中的四边形 $\text{[math]}$ 是等对边四边形.

（提示：如图2，可证 $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ 再证 $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ，可得到结论 $\text{[math]}$ .不需证明）若在 $\text{[math]}$ 中，如果 $\text{[math]}$ 是不等于 $\text{[math]}$ 的锐角， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.

举一反三

如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．

如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC．

如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．

数学课上林老师出示了问题：如图，AD∥BC，∠AEF=90°AD=AB=BC=DC，∠B=90°，点E是边BC的中点，且EF交∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．

同学们作了一步又一步的研究：

在平面直角坐标系xOy中，对于点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，给出如下定义：如果 $\text{[math]}$ ，那么称点Q为点P的“妫川伴侣”.

例如：点(5，6)的“妫川伴侣”为点(5，6)，点(-5，6)的“妫川伴侣”为点(-5，-6).

如图

【问题背景】

如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 的坐标是 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴上的一个动点.当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上移动时，始终保持 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形，且 $\text{[math]}$ (点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 按逆时针方向排列)；当点 $\text{[math]}$ 移动到点 $\text{[math]}$ 时，得到等腰直角三角形 $\text{[math]}$ (此时点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合).

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