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题型：综合题题类：常考题难易度：普通

探索数与式的规律+++++++++2

仔细观察下列四个等式：

3²=2+2²+3，4²=3+3²+4，5²=4+4²+5，6²=5+5²+6，…

（1）、请你写出第5个等式；

（2）、应用这5个等式的规律，用字母表示你发现的规律；

（3）、你能验证这个规律的正确性吗？

举一反三

如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2011个格子中的数为（）

设a_n为正整数n⁴的末位数，如a₁=1，a₂=6，a₃=1，a₄=6．则a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₃+a₂₀₁₄+a₂₀₁₅={#blank#}1{#/blank#} .

古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a₁ ，第二个三角数记为a₂…，第n个三角数记为a_n ，计算a₁+a₂ ， a₂+a₃ ， a₃+a₄ ， …由此推算a₁₉+a₂₀={#blank#}1{#/blank#}．

已知：1³=1= $\text{[math]}$ ×1×2²

1³+2³=9= $\text{[math]}$ ×2²×3²

1³+2³+3³=36= $\text{[math]}$ ×3²×4²

1³+2³+3³+4³=100= $\text{[math]}$ ×4²×5²

^…

根据上述规律计算：1³+2³+3³+…+19³+20³={#blank#}1{#/blank#}．

观察下列等式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

将以上三个等式两边分别相加得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$

【阅读中思考】

设 $\text{[math]}$ 是不为0和1的有理数，我们把1与 $\text{[math]}$ 的倒数的差，即 $\text{[math]}$ 称为 $\text{[math]}$ 的倒数差，如：2的倒数差是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的倒数差是 $\text{[math]}$ ．

【探索中理解】

若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的倒数差， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的倒数差， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的倒数差，…，以此类推．

（1）先写出计算 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的算式，在求出它们的值．

（2）求 $\text{[math]}$ 的值为____________．（直接写出答案）

【应用拓展】

设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是不为0和1的有理数，将一个数组 $\text{[math]}$ 中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第1次变换后得到数组 $\text{[math]}$ ，第2次变换后得数组 $\text{[math]}$ ， …，第 $\text{[math]}$ 次变换后得到数组 $\text{[math]}$ ．

（3）若数组 $\text{[math]}$ 确定为 $\text{[math]}$ ．

则 $\text{[math]}$ 的值为_____________．（直接写出答案）

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