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题型：证明题题类：常考题难易度：困难

河北省石家庄市栾城区2020-2021学年八年级上学期数学期中试卷

已知如图，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为E. 求证：BD=2CE.

举一反三

已知：如图， ABC 是等边三角形，延长 AC 到 E，C 为线段 AE 上的一动点（不与点 A、E 重合），在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形CDE ，AD 与 BE 交于点 O， AD 与 BC 交于点 P， BE 与CD 交于点 Q，连接 PQ，以下四个结论：① AD = BE ； ② AP = BO；③ PQ∥ AE；④∠AOB = 60°；结论正确的有{#blank#}1{#/blank#}．

如图，已知四边形ABCD是正方形，E为对角线 $\text{[math]}$ 上一点，连结DE，过点E作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点，以 $\text{[math]}$ 为邻边作矩形 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

已知：如图，在等边三角形ABC中，D为AC的中点，DG∥BC，交AB于点G，E为BC延长线上一点，且∠EDF=120°，DF交AB于点F.

某段河流的两岸是平行的，某数学老师带领甲，乙两个数学兴趣小组，在不用涉水过河的情况下，去测得河的宽度，结果都获得了准确的答案。

组别	方案
甲组	①在河岸边点B处，选对岸正对的一棵树A，即AB垂直河岸；②沿河岸直行15m处有一棵树C，继续前行15m到达点D处；③从点D处沿河岸垂直的DE方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时（即点A、C、E在同一直线上），停止行走；④测得DE的长为10m.
乙组	①在河岸边点B处，选对岸正对的一棵树A，即AB垂直河岸；②从点B出发，沿着与直线AB成50°角的BC方向前进到C处，在C处测得∠C=25°，③量出BC的长，它就是河宽（即点A，B之间的距离）
问题解决
⑴根据甲组的方案，①河的宽度是 ▲ m；②请说明他们做法的正确性（需写出说理过程）
⑵根据乙组的方案，请写出在判断过程中，他们都用到了哪些数学几何知识？

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将一块三角板的直角顶点放在斜边 $\text{[math]}$ 的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与点D、点E，图①，②，③是旋转得到的三种图形．

平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 轴和 $\text{[math]}$ 轴上的动点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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