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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

江苏省句容市2019届九年级上学期数学期末考试试卷

已知抛物线y=ax²+bx-3的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），顶点为D，点C是直线l：y=x+5与x轴的交点.

（1）、求该二次函数的表达式；

（2）、点E是直线l在第三象限上的点，连接EA、EB，当△ECA∽△BCE时，求E点的坐标；

（3）、在（2）的条件下，连接AD、BD，在直线DE上是否存在点P，使得∠APD=∠ADB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

举一反三

□ABCD中，点P在对角线BD上（不与点B ， D重合），添加一个条件，使得△BCD与△ADP相似，这个条件可以是{#blank#}1{#/blank#}

如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，▱ABCD的顶点A的坐标为（﹣2，0），点D的坐标为（0，2 $\text{[math]}$ ），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G．

如图所示，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK.其中②～⑥中与①相似的是（）

如图，已知抛物线y＝ax²+bx+5经过A(﹣5，0)，B(﹣4，﹣3)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD.

下面是小刚同学在一次测试中解答的部分填空题，其中解答正确的个数是（）

①已知实数a，b满足a= $\text{[math]}$ +3，即 $\text{[math]}$ =3；②若x²=9，则x=3；③有一个角为100°的两个等腰三角形一定相似

【问题探究】

如图①，是一张直角三角形纸片， $\text{[math]}$ ，小明想从中剪出一个以 $\text{[math]}$ 为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线 $\text{[math]}$ 剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为____________；

【问题解决】

如图②，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 边上的高 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 上，顶点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，则矩形 $\text{[math]}$ 面积的最大值为____________；（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）

【拓展延伸】

如图③有一块“缺角矩形” $\text{[math]}$ ，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（ $\text{[math]}$ 为所剪出矩形的内角），则矩形的面积为____________．

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