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题型：解答题题类：常考题难易度：普通

江苏省连云港市灌南华侨高级中学2018-2019学年高二上学期理数12月月考试卷

设 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数，我们常常称恒成立不等式 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，当且仅当 $\text{[math]}$ 时等号成立)为“灵魂不等式”，它在处理函数与导数问题中常常发挥重要作用.

（1）、试证明这个不等式；

（2）、设函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的值.

举一反三

设函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 的导函数为 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 的导函数为 $\text{[math]}$ 若在区间 $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ 恒成立，则称函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上为“凸函数”，已知 $\text{[math]}$ ，若对任意的实数m满足 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上为“凸函数”，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

如图1所示，一根水平放置的长方体枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比．

（1）若a＞d，将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷会变大吗？为什么？

（2）现有一根横截面为半圆，半径为 $\text{[math]}$ 的柱形木材，用它截取成横截面为长方形的枕木（如图2所示），其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？

已知 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$ 成立．

设函数 $\text{[math]}$ .

若 $\text{[math]}$ 为正实数，则 $\text{[math]}$ 的最大值为{#blank#}1{#/blank#}．

关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 的解集是 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是 {#blank#}1{#/blank#}.

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