- 二一组卷

某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究 $\text{[math]}$ 型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ，始终等于它到定直线l： $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ （该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线， $\text{[math]}$ 叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ．例如，抛物线 $\text{[math]}$ ，其焦点坐标为 $\text{[math]}$ ，准线方程为l： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

【基础训练】

（1）请分别直接写出抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；

【技能训练】

（2）如图2，已知抛物线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；

【能力提升】

（3）如图3，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F，准线方程为l．直线m： $\text{[math]}$ 交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为 $\text{[math]}$ ，到直线m的距离为 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值；

【拓展延伸】

该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线 $\text{[math]}$ 平移至 $\text{[math]}$ ．抛物线 $\text{[math]}$ 内有一定点 $\text{[math]}$ ，直线l过点 $\text{[math]}$ 且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离 $\text{[math]}$ 始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线 $\text{[math]}$ 上的动点P到点 $\text{[math]}$ 的距离等于点P到直线l： $\text{[math]}$ 的距离．