- 二一组卷

题型：实践探究题题类：难易度：困难

2024年广东省深圳市南山区前海中学中考一模数学试题

某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究 $\text{[math]}$ 型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ，始终等于它到定直线l： $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ （该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线， $\text{[math]}$ 叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ．例如，抛物线 $\text{[math]}$ ，其焦点坐标为 $\text{[math]}$ ，准线方程为l： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

【基础训练】

（1）请分别直接写出抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；

【技能训练】

（2）如图2，已知抛物线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；

【能力提升】

（3）如图3，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F，准线方程为l．直线m： $\text{[math]}$ 交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为 $\text{[math]}$ ，到直线m的距离为 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值；

【拓展延伸】

该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线 $\text{[math]}$ 平移至 $\text{[math]}$ ．抛物线 $\text{[math]}$ 内有一定点 $\text{[math]}$ ，直线l过点 $\text{[math]}$ 且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离 $\text{[math]}$ 始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线 $\text{[math]}$ 上的动点P到点 $\text{[math]}$ 的距离等于点P到直线l： $\text{[math]}$ 的距离．

请阅读上面的材料，探究下题：

（4）如图4，点 $\text{[math]}$ 是第二象限内一定点，点P是抛物线 $\text{[math]}$ 上一动点，当 $\text{[math]}$ 取最小值时，请求出 $\text{[math]}$ 的面积．

举一反三

如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ .我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y₁、y₂ ，若y₁≠y₂ ，取y₁、y₂中的较小值记为M；若y₁=y₂ ，记M= y₁=y₂.
下列判断： ①当x＞2时，M=y₂；
②当x＜0时，x值越大，M值越大；
③使得M大于4的x值不存在；
④若M=2，则x=1.
其中正确的有