上海市虹口区2024-2025学年高三上学期期终学生学习能力诊断测试数学试卷（一模）

修改时间：2025-02-24 浏览次数：5 类型：高考模拟编辑

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一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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2. 函数 $\text{[math]}$ 的定义域是．

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3. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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4. 在 $\text{[math]}$ 的二项展开式中， $\text{[math]}$ 项的系数为．

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5. 设 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 的图像恒过的定点坐标为．

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6. 若某圆锥的底面半径为 $\text{[math]}$ ，高为 $\text{[math]}$ ，则该圆锥的侧面积为．（结果保留 $\text{[math]}$ ）

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7. 已知非零复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的虚部为．

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8. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的解集是．

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9. 如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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10. 双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，若以点 $\text{[math]}$ 为焦点的抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在第一象限交于点P，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的离心率为．

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11. 2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为．（用含有H、h、m、t的式子表示）

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12. 已知项数为10的数列 $\text{[math]}$ 中任一项均为集合 $\text{[math]}$ 中的元素，且相邻两项满足 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 中任意两项都不相等，则满足条件的数列 $\text{[math]}$ 有个．

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二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑．

13. 已知 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）条件．

A . 充要 B . 充分非必要 C . 必要非充分 D . 既非充分又非必要

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14. 已知事件 $\text{[math]}$ 和事件 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）．

A . 事件 $\text{[math]}$ 和事件 $\text{[math]}$ 独立 B . 事件 $\text{[math]}$ 和事件 $\text{[math]}$ 互斥 C . 事件 $\text{[math]}$ 和事件 $\text{[math]}$ 对立 D . 事件 $\text{[math]}$ 和事件 $\text{[math]}$ 互斥

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15. 已知边长为2的正四面体 $\text{[math]}$ 的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为O，若空间中的动点P满足 $\text{[math]}$ ，则点P的轨迹所形成的几何体的体积为（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . ． $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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16. 设数列 $\text{[math]}$ 的前四项分别为 $\text{[math]}$ ，对于以下两个命题，说法正确的是（）．
①存在等比数列 $\text{[math]}$ 以及锐角α，使 $\text{[math]}$ 成立．
②对任意等差数列 $\text{[math]}$ 以及锐角α，均不能使 $\text{[math]}$ 成立．

A . ①是真命题，②是真命题 B . ①是真命题，②是假命题 C . ①是假命题，②是真命题 D . ①是假命题，②是假命题

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三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤．

17. 设 $\text{[math]}$ ．

（1）当函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值；

（2）若 $\text{[math]}$ ，且在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所对的边长为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，锐角 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

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18. 如图，已知在四棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）若底面 $\text{[math]}$ 为梯形， $\text{[math]}$ ，异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ．求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

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19. 2024年法国奥运会落下帷幕．某平台为了解观众对本次奥运会的满意度，随机调查了本市1000名观众，得到他们对本届奥运会的满意度评分（满分100分），平台将评分分为 $\text{[math]}$ 共5层，绘制成频率分布直方图（如图1所示）．并在这些评分中以分层抽样的方式从这5层中再抽取了共20名观众的评分，绘制成茎叶图，但由于某种原因茎叶图受到了污损，可见部分信息如图2所示．

（1）求图2中这20名观众的满意度评分的第35百分位数；

（2）若从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概率；

（3）已知这1000名观众的评分位于 $\text{[math]}$ 上的均值为67，方差为64.7，位于 $\text{[math]}$ 上的均值为73，方差为134.6，求这1000名观众的评分位于 $\text{[math]}$ 上的均值与方差．

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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，右顶点为 $\text{[math]}$ ，上顶点为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的一点．

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）若 $\text{[math]}$ 点坐标为 $\text{[math]}$ ，则在 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ 使 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，若存在，请求出所有满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）已知 $\text{[math]}$ 点坐标为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于另一点 $\text{[math]}$ ，当直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴和 $\text{[math]}$ 轴均不平行时，有 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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21. 设 $\text{[math]}$ ．若函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 恒成立，则称函数 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ．

（1）判断 $\text{[math]}$ 是否具有性质 $\text{[math]}$ ，并说明理由；

（2）设 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ，求实数a的取值范围；

（3）设函数 $\text{[math]}$ 的定义域为R ，且对任意 $\text{[math]}$ 以及 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ．若当 $\text{[math]}$ 时，恒有 $\text{[math]}$ ．求证：函数 $\text{[math]}$ 对任意实数a均具有性质 $\text{[math]}$ ．

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上海市虹口区2024-2025学年高三上学期期终学生学习能力诊断测试数学试卷（一模）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑．

三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤．

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