2014年全国高考理数真题试卷（新课标I卷）

1. 已知集合A={x|x²﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）

A . [1，2） B . [﹣1，1] C . [﹣1，2） D . [﹣2，﹣1]

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2. $\text{[math]}$ =（）

A . 1+i B . 1﹣i C . ﹣1+i D . ﹣1﹣i

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3. 设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）

A . f（x）•g（x）是偶函数 B . |f（x）|•g（x）是奇函数 C . f（x）•|g（x）|是奇函数 D . |f（x）•g（x）|是奇函数

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4. 已知F为双曲线C：x²﹣my²=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . $\text{[math]}$ m D . 3m

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5. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）

A . B . C . D .

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7.
执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 设α∈（0， $\text{[math]}$ ），β∈（0， $\text{[math]}$ ），且tanα= $\text{[math]}$ ，则（）

A . 3α﹣β= $\text{[math]}$ B . 3α+β= $\text{[math]}$ C . 2α﹣β= $\text{[math]}$ D . 2α+β= $\text{[math]}$

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9. 不等式组 $\text{[math]}$ 的解集记为D，有下列四个命题：
p₁：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2          p₂：∃（x，y）∈D，x+2y≥2
p₃：∀（x，y）∈D，x+2y≤3           p₄：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1
其中真命题是（    ）

A . p₂ ， p₃ B . p₁ ， p₄ C . p₁ ， p₂ D . p₁ ， p₃

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10. 已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若 $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ ，则|QF|=（）

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . $\text{[math]}$ D . 2

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11. 已知函数f（x）=ax³﹣3x²+1，若f（x）存在唯一的零点x₀ ，且x₀＞0，则实数a的取值范围是（）

A . （1，+∞） B . （2，+∞） C . （﹣∞，﹣1） D . （﹣∞，﹣2）

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12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）

A . 6 $\text{[math]}$ B . 6 C . 4 $\text{[math]}$ D . 4

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13. （x﹣y）（x+y）⁸的展开式中x²y⁷的系数为．（用数字填写答案）

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14. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为．

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15. 已知A，B，C为圆O上的三点，若 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为．

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16. 已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．

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17. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₁=1，a_n≠0，a_na_n+1=λS_n﹣1，其中λ为常数．

（1）证明：a_n+2﹣a_n=λ

（2）是否存在λ，使得{a_n}为等差数列？并说明理由．

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18.
从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数 $\text{[math]}$ 和样本方差s²（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均数 $\text{[math]}$ ，σ²近似为样本方差s² ．
（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附： $\text{[math]}$ ≈12.2．
若Z～N（μ，σ²）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．

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19. 如图，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面BB₁C₁C为菱形，AB⊥B₁C．

（1）证明：AC=AB₁；

（2）若AC⊥AB₁ ， ∠CBB₁=60°，AB=BC，求二面角A﹣A₁B₁﹣C₁的余弦值．

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20. 已知点A（0，﹣2），椭圆E： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为 $\text{[math]}$ ，O为坐标原点．

（1）求E的方程；

（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

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21. 设函数f（x）=ae^xlnx+ $\text{[math]}$ ，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．

（1）求a、b；

（2）证明：f（x）＞1．

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22. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．

（1）证明：∠D=∠E；

（2）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．

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23. 已知曲线C： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，直线l： $\text{[math]}$ （t为参数）

（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．

（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

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24. 若a＞0，b＞0，且 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．

（1）求a³+b³的最小值；

（2）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．

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2014年全国高考理数真题试卷（新课标I卷）

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：几何证明选讲

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