修改时间：2021-08-25 浏览次数：109 类型：二轮复习
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
×年×月×日 星期日
没有直角尺也能作出直角
今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线 ，现根据木板的情况，要过
上的一点
，作出
的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？
办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在 上量出
，然后分别以
，
为圆心，以
与
为半径画圆弧，两弧相交于点
，作直线
，则
必为
．
办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出 ，
两点，然后把木棒斜放在木板上，使点
与点
重合，用铅笔在木板上将点
对应的位置标记为点
，保持点
不动，将木棒绕点
旋转，使点
落在
上，在木板上将点
对应的位置标记为点
．然后将
延长，在延长线上截取线段
，得到点
，作直线
，则
．
我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？
……
任务：
②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）
动手操作：
第一步：如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，展开铺平.在沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上.此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一直线上，折痕分别为CE，CF.如图2.
第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3
第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME，如图5，图中的虚线为折痕.
问题解决：
(参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)
莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则 .
如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．
下面是该定理的证明过程（部分）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.
∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，
∴△MDI∽△ANI，
∴ ，
∴ ①，
如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，
∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，
∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA，
∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，
∴△AIF∽△EDB，
∴ ，∴
②，
任务：
独立思考：
希望小组受此问题的启发，将 沿着
（
为
的中点）所在直线折叠，如图②，点
的对应点为
，连接
并延长交
于点
，请判断
与
的数量关系，并加以证明；
智慧小组突发奇想，将 沿过点
的直线折叠，如图③，点A的对应点为
，使
于点
，折痕交
于点
，连接
，交
于点
．该小组提出一个问题：若此
的面积为20，边长
，
，求图中阴影部分（四边形
）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．
试题篮
