辽宁省名校2021届高三数学第一次联考试卷

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 复数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 以点 $\text{[math]}$ 为圆心，且与直线 $\text{[math]}$ 相切的圆的方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 在 $\text{[math]}$ 展开式中， $\text{[math]}$ 的系数为（）

A . 240 B . -240 C . -160 D . 160

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5. 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 到焦点F的距离 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 2 C . 4 D . 5

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7. 某保鲜封闭装置由储物区与充氮区（内层是储物区用来放置新鲜易变质物品，充氮区是储物区外的全部空间，用来向储物区输送氮气从而实现保鲜功能）．如图所示，该装置外层上部分是半径为2半球，下面大圆刚好与高度为3的圆锥的底面圆重合，内层是一个高度为4的倒置小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，为了保存更多物品，充氮区空间最小可以为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ ．若曲线 $\text{[math]}$ 存在两条过 $\text{[math]}$ 点的切线，则a的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 如图为某省高考数学卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，其中正确的为（）
数学近三年难易程度对比

A . 近三年容易题分值逐年增加 B . 近三年中档题分值所占比例最高的年份是2019年 C . 2020年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上 D . 近三年难题分值逐年减少

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10. 设正实数a，b满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 有最小值4 B . $\text{[math]}$ 有最大值 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 有最大值 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 有最小值 $\text{[math]}$

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11. 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，其特点是圆的周长和面积同时被平分，充分体现了相互转化、对称统一、和谐共存的特点．若函数 $\text{[math]}$ 的图像能够将圆的周长和面积同时平分，则称函数 $\text{[math]}$ 为这个圆的“和谐函数”．给出下列命题中正确的有（）

A . 对于任意一个圆，其“和谐函数”至多有2个 B . 函数 $\text{[math]}$ 可以是某个圆的“和谐函数” C . 正弦函数 $\text{[math]}$ 可以同时是无数个圆的“和谐函数” D . 函数 $\text{[math]}$ 不是“和谐函数”

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12. 已知 $\text{[math]}$ ，则下列有关函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上零点的说法正确的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 有5个零点 B . 函数 $\text{[math]}$ 有6个零点 C . 函数 $\text{[math]}$ 所有零点之和大于2 D . 函数 $\text{[math]}$ 正数零点之和小于4

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13. 写出两个与 $\text{[math]}$ 终边相同的角．

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14. 2021年的两会政府工作报告中提出：加强全科医生和乡村医生队伍建设，提升县级医疗服务能力，加快建设分级诊疗体系，让乡村医生“下得去、留得住”．为了响应国家号召，某医科大学优秀毕业生小李和小王，准备支援乡村医疗卫生事业发展，在康庄、青浦、夹山、河东4家乡村诊所任选两家分别就业，则小李选择康庄且小王不选择夹山的概率为．

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15. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且数列 $\text{[math]}$ 是单调递增数列，则实数t的取值范围是．

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16. 在边长为2的正三角形 $\text{[math]}$ 中，D是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于F．①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ．

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17. 在 $\text{[math]}$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\text{[math]}$

（1）求A；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积的最大值．

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18. 已知首项为2的数列 $\text{[math]}$ 中，前n项和 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．

（1）求实数t的值及数列 $\text{[math]}$ 的通项公式 $\text{[math]}$ ；

（2）将① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ 三个条件任选一个补充在题中，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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19. 目前，新能源汽车尚未全面普及，原因在于技术水平有待提高，国内几家大型汽车生产商的科研团队已经独立开展研究工作．吉利研究所、北汽科研中心、长城攻坚站三个团队两年内各自出成果的概率分别为 $\text{[math]}$ ，m， $\text{[math]}$ ．若三个团队中只有长城攻坚站出成果的概率为 $\text{[math]}$ ．

（1）求吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率及m的值；

（2）三个团队有X个在两年内出成果，求X分布列和数学期望．

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20. 正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正四面体 $\text{[math]}$ 和一个正八面体 $\text{[math]}$ 的棱长都是a（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体．

（1）求新多面体的体积；

（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值；

（3）求新多面体为几面体？并证明．

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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；

（2）若对于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立．求实数k的取值范围．

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22. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的焦距为 $\text{[math]}$ ，经过点 $\text{[math]}$ ．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 分别交椭圆于A，B． $\text{[math]}$ ，Q为垂足．是否存在定点R，使得 $\text{[math]}$ 为定值，说明理由．

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辽宁省名校2021届高三数学第一次联考试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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