浙教版备考2021年中考数学三轮冲刺复习专题7 数与形规律

1. 求1+2+2²+2³+…+2²⁰²⁰的值，可令S=1+2+2²+2³+…+2²⁰²⁰ ，则2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰²¹ ，因此2S－S=2²⁰²¹－1.仿照以上推理，计算出1+2020+2020²+2020³+…+2020²⁰²⁰的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P₁P₂ ， P₂P₃ ， P₃P₄ ， …得到螺旋折线（如图），已知点P₁（0，1），P₂（﹣1，0），P₃（0，﹣1），则该折线上的点P₉的坐标为（）

A . （﹣6，24） B . （﹣6，25） C . （﹣5，24） D . （﹣5，25）

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3. 一个正整数N的各位数字不全相等，且都不为0，现要将N的各位数字重新排列，可得到一个最大数和一个最小数，此最大数与最小数的和记为N的“和数”；此最大数与最小数的差记为N的“差数”。例如，245的“和数”为542+245=787；245的“差数”为542-245=297。一个四位数M，其中千位数字和百位数字均为a，十位数字为1，个位数字为b(且a≥1，b≥1)，若它的“和数”是6666，则M的“差数”的值为（）

A . 3456或3996 B . 4356或3996 C . 3456或3699 D . 4356或3699

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4. 观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 491 B . 1045 C . 1003 D . 533

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5. 正方形ABCD的边长为1，其面积记为S₁ ，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S₂ ， …按此规律继续下去，则S₂₀₁₉的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“ ”方向排序，如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…，根据这个规律，第 $\text{[math]}$ 个点的横坐标为（）

A . 44 B . 45 C . 46 D . 47

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7. 正方形A₁B₁C₁O，A₂B₂C₂C₁ ， A₃B₃C₃C₂ ， …按如图的方式放置.点A₁ ， A₂ ， A₃ ， …和点C₁ ， C₂ ， C₃ ， …分别在直线y=x+1和x轴上，则点B₆的坐标是（）

A . （63，32） B . （64，32） C . （63，31） D . （64，31）

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8. 希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）

A . 289 B . 1024 C . 1225 D . 1378

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9. 南宋数学家杨辉在其著作《解：九章算法》中揭示了（a+b）ⁿ（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”
（a+b）⁰＝1

（a+b）¹＝a+b

（a+b）²＝a²+2ab+b²

（a+b）³＝a³+3a²b+3ab²+b³

（a+b）⁴＝a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

（a+b）⁵＝a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

…

则（a+b）⁹展开式中所有项的系数和是（）

A . 128 B . 256 C . 512 D . 1024

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10. 有这样一种算法，对于输入的任意一个实数，都进行“先乘以 $\text{[math]}$ ，再加3”的运算。现在输入一个x=4，通过第1次运算的结果为x₁ ，再把x₁输入进行第2次同样的运算，得到的运算结果为x₂ ， …，一直这样运算下去，当运算次数不断增加时，运算结果x_n（）

A . 越来越接近4 B . 越来越接近于-2 C . 越来越接近2 D . 不会越来越接近于一个固定的数

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11. 把所有的正整数按一定规律排列成如图所示的数表，若根据行列分布，正整数6对应的位置记为（2，3），则位置（4，2）对应的正整数是.

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12. “天干地支”纪年法是中国古老的纪年法，由“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十天干与“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”十二地支依次相配组成。如：甲子、乙丑、丙寅、10年后天干从“甲”重新开始纪年，12年后地支从“子”重新开始纪年，依次下去.公元2020年对应“庚子”年，下一次出现“庚子”年是公元年。

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13. 如图，小圆O的半径为1，△A₁B₁C₁ ， △A₂B₂C₂ ， △A₃B₃C₃ ， …，△A_nB_nC_n依次为同心圆O的内接正三角形和外切正三角形，由弦A₁C₁和弧A₁C₁围成的弓形面积记为S₁ ，由弦A₂C₂和弧A₂C₂围成的弓形面积记为S₂ ， …，由弦A_nC_n和弧A_nC_n围成的弓形面积记为S_n ，其中由弦A₂₀₂₀C₂₀₂₀和弧A₂₀₂₀C₂₀₂₀围成的弓形面积S₂₀₂₀为。

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14. 设 $\text{[math]}$ ，（n为自然数），其中 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 分别表示 $\text{[math]}$ 的整数部分和小数部分，如[2.5]=2， $\text{[math]}$ =0.5； $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =0.4；则 $\text{[math]}$ =

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15. 如图，∠AOB＝30°，n个半圆依次外切，它们的圆心都在射线OA上并与射线OB相切，设半圆C₁、半圆C₂、半圆C₃…、半圆∁_n的半径分别是r₁、r₂、r₃…、r_n ，则 $\text{[math]}$ ＝.

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16. 如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍. 如果搭建正三角形和正六边形共用了2018根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多7个，那么能连续搭建正三角形的个数是；

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17. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为1，边OA，OC分别在x轴，y轴上，若以对角线OB为边作第二个正方形OBB₁C₁ ，再以对角线OB₁为边作第三个正方形OB₁B₂C₂ ，按此规律做下去，则 $\text{[math]}$ =

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18. 如图所示，一个机器人从O点出发，向正东方向走3m到达A₁点，再向正北方向走6m到达A₂点，再向正西方向走9m到达A₃点，再向正南方向走12m到达A₄点，再向正东方向走15m到达A₅点，按如此规律走下去，相对于点O，机器人走到A₆时是位置．

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19. 一只电子跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后按图中箭头所示方向跳动，且每秒跳动一个单位，那么第2020秒时电子跳蚤所在位置的坐标是。

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20. 在平面直角坐标系中，如果一个图形向右平移1个单位，再向上平移3个单位，称为一个变换，已知点A（1，-2），经过一个变换后对应点为A₁ ，经过2个变换后对应点为A₂ ， …经过n个变换后对应点为A_n ，则用含n的代数式表示点A_n的坐标为。

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21. 在多项式中有一类比较有趣的因式分解，如我们已经学过的
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

（1）证明： $\text{[math]}$ ；

（2）据此猜想，对任意正整数 $\text{[math]}$ （不必证明）；

（3）利用（2），求 $\text{[math]}$ 的值

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22. （问题一）：观察下列等式
$\text{[math]}$

将以上三个等式两边分别相加得：

$\text{[math]}$

（1）猜想并写出： $\text{[math]}$ .

（2）直接写出下列各式的计算结果：
$\text{[math]}$ ；

（3）探究并计算：①. $\text{[math]}$
② $\text{[math]}$

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23. 如图，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB₁折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B₁A₁C的平分线A₁B₂折叠，剪掉重复部分…将余下部分沿∠B_nA_nC的平分线A_nB_n₊₁折叠，点B_n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称∠BAC是△ABC的好角．

（1）若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C （设∠B＞∠C）之间的等量关系为．

（2）若一个三角形的最小角是4°，且该三角形的三个角均是此三角形的好角．请写出符合要求三角形的另两个角的度数．（写出一种即可）

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24. 阅读材料：
对于排好顺序的三个数： $\text{[math]}$ ，称为数列 $\text{[math]}$ .计算 $\text{[math]}$ 的值，将这三个算式的最小值称为数列 $\text{[math]}$ 的价值.例如，对于数列 $\text{[math]}$ ，因为 $\text{[math]}$ ，所以数列 $\text{[math]}$ 的价值为 $\text{[math]}$ .

当改变数列中三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值.如数列 $\text{[math]}$ 的价值为，数列 $\text{[math]}$ 的价值等等.对于“ $\text{[math]}$ ”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为 $\text{[math]}$ .

根据以上材料，回答下列问题：

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的价值；

（2）将“ $\text{[math]}$ ”这三个数按照不同的顺序排列，可得若干个数列，求取得的价值最小时的数列.

（3）已知 $\text{[math]}$ ，将“ $\text{[math]}$ ”这三个数按照不同的顺序排列，可得若干个数列，若这些数列的价值的最小值为1，求a的值.

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25. 如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。

（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则 $\text{[math]}$ 的值为 .

（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F₁ ，摆放第三个“7”字图形得顶点F₂ ，依此类推，…，摆放第a个“7”字图形得顶点F_n-1 ， …，则顶点F₂₀₁₉的坐标为 .

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26. 如图，在直角坐标系中，已知点M₀的坐标为（1，0），将线段O M₀绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M₁ ，使得M₁ M₀⊥O M₀ ，得到线段OM₁；又将线段OM₁绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M₂ ，使得M₂M₁⊥OM₁ ，得到线段OM₂ ，如此下去，得到线段OM₃ ， OM₄ ， …，OM_n

（1）写出点M₅的坐标；

（2）求△M₅OM₆的周长；

（3）我们规定：把点M_n（x_n ， y_n）（n=0，1，2，3…）的横坐标x_n ，纵坐标y_n都取绝对值后得到的新坐标（|x_n|，|y_n|）称之为点M_n的“绝对坐标”．根据图中点M_n的分布规律，请你猜想点M_n的“绝对坐标”，并写出来．

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27. 如图，一组抛物线的顶点A₁（x₁ ， y₁），A₂（x₂ ， y₂），…A_n（x_n ， y_n）（n为正整数）依次是反比例函数 $\text{[math]}$ 图象上的点，第一条抛物线以A₁（x₁ ， y₁）为顶点且过点O（0，0），B₁（2，0），等腰△A₁OB₁为第一个三角形；第二条抛物线以A₂（x₂ ， y₂）为顶点且经过点B₁（2，0），B₂（4，0），等腰△A₂B₁B₂为第二个三角形；…；第n条抛物线以A_n（x_n ， y_n）为顶点且经过点B_n-1（2n-2，0），B_n（2n，0），等腰△A_nB_n-1B_n为第n个三角形．

（1）写出满足△A_nB_n-1B_n的面积为整数的n的值.

（2）若第n条抛物线为y=a_nx²+b_nx+c_n满足10a_n+5b_n+c_n=0，称“滑翔抛物线”，试求出满足条件的“滑翔抛物线”解析式为.

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浙教版备考2021年中考数学三轮冲刺复习专题7 数与形规律

一、单选题

二、填空题

三、综合题

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