东北三省四城市联考暨沈阳市数学2021届高三质量监测试卷（二）

1. 已知复数 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为虚数单位)，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 2. C . $\text{[math]}$ D . 1

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2. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知数列 $\text{[math]}$ 为等差数列，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的前5项和是（）

A . 15 B . 20 C . 25 D . 35

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4. 历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年—325年)，大约100年后，阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点.设抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，一束平行于抛物线对称轴的光线经过 $\text{[math]}$ ，被抛物线反射后，又射到抛物线 $\text{[math]}$ 上的 $\text{[math]}$ 点，则 $\text{[math]}$ 点的坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . -3 C . $\text{[math]}$ D . 3

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6. 某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（）种．

A . 5040 B . 1260 C . 210 D . 630

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7. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左，右焦点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，点 $\text{[math]}$ 在双曲线 $\text{[math]}$ 的右支上，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 以下关于概率与统计的说法中，正确的为（）

A . 某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本.已知该校高一､高二､高三年级学生之比为 $\text{[math]}$ ，则应从高二年级中抽取20名学生 B . 10件产品中有7件正品，3件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为 $\text{[math]}$ C . 若随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 设某学校女生体重 $\text{[math]}$ (单位： $\text{[math]}$ )与身高 $\text{[math]}$ (单位： $\text{[math]}$ )具有线性相关关系，根据一组样本数据 $\text{[math]}$ ，用最小二乘法建立的回归方程为 $\text{[math]}$ ，若该学校某女生身高为 $\text{[math]}$ ，则可断定其体重必为 $\text{[math]}$

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10. 以下有关三角函数 $\text{[math]}$ 的说法正确的为（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 在定义域内有偶数个零点 D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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11. 如图，直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，所有棱长均为1，点 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上任意一点，则下列结论正确的是（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成角的范围是 $\text{[math]}$ B . 在棱 $\text{[math]}$ 上存在一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点，则平面 $\text{[math]}$ 截三棱柱 $\text{[math]}$ 所得截面面积为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上的动点，则三棱锥 $\text{[math]}$ 体积的最大值为 $\text{[math]}$

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12. 若实数 $\text{[math]}$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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13. 若 $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 的系数为15，则 $\text{[math]}$ .

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14. 若“ $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立”是假命题，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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15. 过圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 外一点 $\text{[math]}$ 引直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，当 $\text{[math]}$ 的面积取最大值时，直线 $\text{[math]}$ 的斜率等于 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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16. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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17. 已知在锐角 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ ；

（2）若 ▲ ，求 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 的大小.(在① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ，这两个条件中任选一个，补充在横线上)

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18. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ .

（1）求证：数列 $\text{[math]}$ 是等比数列；

（2）记 $\text{[math]}$ ，求证：数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

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19. 如图，三棱锥 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 和侧面 $\text{[math]}$ 都是边长为4的等边三角形，且平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 中点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的动点.

（1）若平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长；

（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

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20. 在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹习近平总书记指出：“脱贫摘帽不是终点，而是新生活､新奋斗的起点.”某农户计划于2021年初开始种植某新型农作物.已知该农作物每年每亩的种植成本为2000元，根据前期各方面调查发现，该农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如下表：

该农作物亩产量( $\text{[math]}$ )	900	1200
概率	0.5	0.5
该农作物市场价格(元/ $\text{[math]}$ )	30	40
概率	0.4	0.6

（1）设2021年该农户种植该农作物一亩的纯收入为 $\text{[math]}$ 元，求 $\text{[math]}$ 的分布列；

（2）若该农户从2021年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于30000元的概率.

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21. 已知点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的右焦点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为椭圆的左､右顶点，椭圆上异于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的任意一点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点连线的斜率之积为 $\text{[math]}$ .

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

（2）过点 $\text{[math]}$ 的两条弦 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相互垂直，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证：直线 $\text{[math]}$ 过定点.

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）证明： $\text{[math]}$ 有且仅有一个零点；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，试判断函数 $\text{[math]}$ 是否有最小值？若有，设最小值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值域；若没有，请说明理由.

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东北三省四城市联考暨沈阳市数学2021届高三质量监测试卷（二）

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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