2021年高考数学尖子生培优专题07 立体几何

1. 已知在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 如图，棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是底面 $\text{[math]}$ 的中心，则 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 设m，n是两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（）

A . 若m//α，n $\text{[math]}$ α，则m//n B . 若m//α，m⊥n，则n⊥α C . 若m⊥α，m⊥n，则n//α D . 若m⊥α，n//α，则m⊥n

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4. 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若该三棱锥的体积为 $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ π D . $\text{[math]}$

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5. 如图，三棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面三角形 $\text{[math]}$ 是正三角形， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，则下列叙述正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是异面直线 B . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是共面直线 C . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是异面直线 D . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是共面直线

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6. 已知三棱锥 $\text{[math]}$ 的所有棱长都为2，且球 $\text{[math]}$ 为三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上靠近 $\text{[math]}$ 的四等分点，过点 $\text{[math]}$ 作平面 $\text{[math]}$ 截球 $\text{[math]}$ 得到的截面面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图，已知三棱锥 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，底而是边长为1的正三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （不含端点）上的两个动点，则 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值不可能是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ ，以下结论错误的是（）

A . 面对角线中与直线 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ 的有8条 B . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直 C . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 平行 D . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$

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9. 如图，在下列四个正方体中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为正方体的两个顶点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 不平行的是（）

A . B . C . D .

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10. 如图，直接三棱柱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的两个动点，则（）

A . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 一定是异面直线 B . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为定值 $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则四棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球表面积为 $\text{[math]}$

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11. 长方体 $\text{[math]}$ 的底面是边长为3的正方形，高为4， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 在棱 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ C . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积是6 D . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球表面积为 $\text{[math]}$

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12. 已知直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A . 当点 $\text{[math]}$ 运动到 $\text{[math]}$ 中点时，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角的正切值为 $\text{[math]}$ B . 无论点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上怎么运动，都有 $\text{[math]}$ C . 当点 $\text{[math]}$ 运动到 $\text{[math]}$ 中点时，才有 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于一点，记为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ D . 无论点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上怎么运动，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角都不可能是30°

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13. 设函数 $\text{[math]}$ ，则将 $\text{[math]}$ 的曲线绕 $\text{[math]}$ 轴旋转一周所得几何体的体积为.

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14. 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=1，AC= $\text{[math]}$ 。三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的表面上，则球O的半径为；若点M，N分别是△ABC与△PAC的重心，直线MN与球O的表面相交于D，E两点，则线段DE的长度为。

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15. 如图，已知三棱锥 $\text{[math]}$ ，点P是 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ，过点P作一个截面，使截面平行于 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则截面的周长为.

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16. 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 垂直平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的表面积为.

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17. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．

（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；

（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．

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18. 如图，长方体ABCD -A₁B₁C₁D₁的底面是边长为2的正方形，AA₁=4，点E，F，M，N分别为棱CC₁ ， BC， BB₁ ， AA₁的中点

（1）求证：平面B₁D₁E⊥平面C₁MN．

（2）若平面AFM∩平面A₁B₁C₁D₁=l，求直线l与平面B₁D₁E₁所成角的正弦值．

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19. 如图， $\text{[math]}$ 是边长为3的正方形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

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20. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 是直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）若三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.

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21. 已知如图①，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起使 $\text{[math]}$ ，得到如图②所示的四棱锥 $\text{[math]}$ .

（1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

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22. 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ？如果存在，求 $\text{[math]}$ 的值；如果不存在，说明理由；

（3）若 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上任意一点，求证： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 一定不平行.

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