解：以D为原点，以DA，DC为x，y轴，建立如图所示空间直角坐标系：

则 $P (0 ， - 1 ， \sqrt{3}) ， C (0 ， 2 ， 0) ， A (2 ， 0 ， 0) ， B (2 ， 1 ， 0)$ ，

设 $\frac{B F}{B C} = λ$ ，则 $\vec{B F} = λ \vec{B C}$ ，

$\vec{P B} = (2 ， 2 ， - \sqrt{3}) ， \vec{B C} = (- 2 ， 1 ， 0) ， \vec{P A} = (2 ， 1 ， - \sqrt{3}) ， \vec{P C} = (0 ， 3 ， - \sqrt{3})$ ，

$\vec{P D} = (0 ， 1 ， - \sqrt{3}) ， \vec{P F} = \vec{P B} + \vec{B F} = \vec{P B} + λ \vec{B C} = (2 - 2 λ ， 2 + λ ， - \sqrt{3})$ ，

设平面平面 $P A C$ 的一个法向量为 $\vec{m} = (x ， y ， z)$ ，

则 ${\begin{array}{l} \vec{P A} \cdot \vec{m} = 0 \\ \vec{P C} \cdot \vec{m} = 0 \end{array}$ ，即 ${\begin{array}{l} 2 x + y - \sqrt{3} z = 0 \\ 3 y - \sqrt{3} z = 0 \end{array}$ ，

令 $z = \sqrt{3}$ ，则 $y = 1 ， x = 1$ ，所以 $\vec{m} = (1 ， 1 ， \sqrt{3})$ ，

设平面平面 $P D F$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (x ， y ， z)$ ，

则 ${\begin{array}{l} \vec{P D} \cdot \vec{n} = 0 \\ \vec{P F} \cdot \vec{n} = 0 \end{array}$ ，即 ${\begin{array}{l} y - \sqrt{3} z = 0 \\ (2 - 2 λ) x + (2 + λ) y - \sqrt{3} z = 0 \end{array}$ ，

令 $z = \sqrt{3}$ ，则 $y = 3 ， x = \frac{3 + 3 λ}{2 λ - 2}$ ，所以 $\vec{n} = (\frac{3 + 3 λ}{2 λ - 2} ， 3 ， \sqrt{3})$ .

若使得平面 $P D F ⊥$ 平面 $P A C$ ，

则 $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$ ，即 $\frac{3 + 3 λ}{2 λ - 2} + 6 = 0$ ，

解得 $λ = \frac{3}{5}$ ，

所以线段 $B C$ 上存在点 $F$ ，使得 $P D F ⊥$ 平面 $P A C$ .

2021年高考数学尖子生培优 专题07 立体几何

2021年高考数学尖子生培优专题07 立体几何