天津市南开中学2019届高三理数模拟试卷

1. 设集合 $\text{[math]}$ .则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的 $\text{[math]}$ 的值为 $\text{[math]}$ ，则输出 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D .

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3. 设变量 $\text{[math]}$ 满足约束条件 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“函数 $\text{[math]}$ 是奇函数”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. 已知函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，这个图象经过点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，则如下区间是 $\text{[math]}$ 的单调递增区间的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调，且函数 $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 对称，若数列 $\text{[math]}$ 是公差不为 $\text{[math]}$ 的等差数列，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项的和为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，焦距为 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 准线交双曲线左支交于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为原点，则双曲线的离心率 $\text{[math]}$ 为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ 若函数 $\text{[math]}$ 有且只有 $\text{[math]}$ 个零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 若 $\text{[math]}$ 是复数， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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10. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中，常数项是．

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11. 已知正四面体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别在棱 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则四面体 $\text{[math]}$ 的体积为．

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12. 已知曲线 $\text{[math]}$ 参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），以坐标原点为极点， $\text{[math]}$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的两个交点为 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长为．

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13. 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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14. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知 $\text{[math]}$ .
(Ⅰ)求B；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

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15. 立德中学和树人中学各派一名学生组成一个联队参加一项智力竞赛，这个智力竞赛一共两轮，在每一轮中，两名同学各回答一次题目，已知，立德中学派出的学生每轮中答对问题的概率都是 $\text{[math]}$ ，树人中学派出的学生每轮中答对问题的概率都是 $\text{[math]}$ ；每轮中，两位同学答对与否互不影响，各论结果亦互不影响，求：
（Ⅰ）两轮比赛后，立德中学的学生恰比树人中学的学生答对题目的个数多 $\text{[math]}$ 个的概率；

（Ⅱ）两轮比赛后，记 $\text{[math]}$ 为这两名同学一共答对的题目数，求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望．

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16. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值；

（Ⅲ）在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，若存在，求出线段 $\text{[math]}$ 的长，若不存在，说明理由．

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17. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左顶点为 $\text{[math]}$ ，上顶点为 $\text{[math]}$ ，右焦点为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上的两个动点，且 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点．

（ⅰ）求 $\text{[math]}$ 的面积最小值；

（ⅱ）证明： $\text{[math]}$ 三点共线．

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18. 已知数列 $\text{[math]}$ 是等差数列， $\text{[math]}$ 是等比数列，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 其中 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（Ⅱ）求 $\text{[math]}$

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天津市南开中学2019届高三理数模拟试卷

一、单选题

二、填空题

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