2015-2016学年山东省淄博七中高二下学期期中数学试卷（理科）

1. 若复数z= $\text{[math]}$ （a∈R）实部与虚部相等，则a的值等于（）

A . ﹣1 B . 3 C . ﹣9 D . 9

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2. 5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有（）

A . A $\text{[math]}$ 种 B . 4⁵种 C . 5⁴种 D . C $\text{[math]}$ 种

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3. 若（x⁶ $\text{[math]}$ ）ⁿ的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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4. 把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形（如图），试求第七个三角形数是（）

A . 27 B . 28 C . 29 D . 30

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5. 若∁ $\text{[math]}$ =∁ $\text{[math]}$ （n∈N），且（2﹣x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ ，则a₀﹣a₁+a₂﹣…+（﹣1）ⁿa_n等于（）

A . 81 B . 27 C . 243 D . 729

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6. 有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（　　）

A . 150 B . 180 C . 200 D . 280

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7. 设p：|4x﹣3|≤1；q：x²﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0．若┐p是┐q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是（）

A . [0， $\text{[math]}$ ] B . （0， $\text{[math]}$ ） C . （﹣∞，0]∪[ $\text{[math]}$ ，+∞） D . （﹣∞，0）∪（ $\text{[math]}$ ，+∞）

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8. 已知抛物线y²=8x与双曲线 $\text{[math]}$ ﹣y²=1的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若|MF|=5，则该双曲线的渐近线方程为（）

A . 5x±3y=0 B . 3x±5y=0 C . 4x±5y=0 D . 5x±4y=0

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9. 抛物线x²= $\text{[math]}$ y在第一象限内图象上一点（a_i ， 2a_i²）处的切线与x轴交点的横坐标记为a_i₊₁ ，其中i∈N^* ，若a₂=32，则a₂+a₄+a₆等于（）

A . 64 B . 42 C . 32 D . 21

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10. 函数f（x）=（x²﹣3）e^x ，当m在R上变化时，设关于x的方程f²（x）﹣mf（x）﹣ $\text{[math]}$ =0的不同实数解的个数为n，则n的所有可能的值为（）

A . 3 B . 1或3 C . 3或5 D . 1或3或5

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11. 已知△ABC各角的对应边分别为a，b，c，且满足 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≥1，则角A的取值范围是．

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12. 航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为．

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13. 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S₁ ，外接圆面积为S₂ ，则 $\text{[math]}$ ，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P﹣ABC的内切球体积为V₁ ，外接球体积为V₂ ，则 $\text{[math]}$ =．

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14. 函数f（x）=x³﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x₁ ， x₂ ，都有|f（x₁）﹣f（x₂）|≤t，则实数t的最小值是．

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15. 已知M为不等式组 $\text{[math]}$ 表示的平面区域，直线l：y=2x+a，当a从﹣2连续变化到0时，区域M被直线扫过的面积为．

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16. 综合题。

（1）已知复数z在复平面内对应的点在第四象限，|z|=1，且z+ $\text{[math]}$ =1，求z；

（2）已知复数z= $\text{[math]}$ ﹣（1+5i）m﹣3（2+i）为纯虚数，求实数m的值．

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17. 已知等差数列{a_n}的首项a₁=3，且公差d≠0，其前n项和为S_n ，且a₁ ， a₄ ， a₁₃分别是等比数列{b_n}的b₂ ， b₃ ， b₄ ．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明 $\text{[math]}$ ．

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18. 已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．
（Ⅰ）证明：PF⊥FD；
（Ⅱ）判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；
（Ⅲ）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣PD﹣F的余弦值．

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19. 某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，若每台机器产生的次品数P（万件）与每台机器的日产量x（万件）（4≤x≤12）之间满足关系：P=0.1x²﹣3.2lnx+3，已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每产生1万件装次品将亏损1万元．（利润=盈利﹣亏损）
（I）试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y（万元）表示为x的函数；
（II）当每台机器的日产量x（万件）写为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？

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20. 在平面直角坐标系xOy中，点P是圆x²+y²=4上一动点，PD⊥x轴于点D，记满足 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）的动点M的轨迹为Γ．
（Ⅰ）求轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）已知直线l：y=kx+m与轨迹F交于不同两点A，B，点G是线段AB中点，射线OG交轨迹Γ于点Q，且 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ ，λ∈R．
①证明：λ²m²=4k²+1；
②求△AOB的面积S（λ）的解析式，并计算S（λ）的最大值．

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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ，a为正常数．

（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a= $\text{[math]}$ ，求函数f（x）的单调增区间；

（2）在（1）中当a=0时，函数y=f（x）的图象上任意不同的两点A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂），线段AB的中点为C（x₀ ， y₀），记直线AB的斜率为k，试证明：k＞f'（x₀）．

（3）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意的x₁ ， x₂∈（0，2]，x₁≠x₂ ，都有 $\text{[math]}$ ，求a的取值范围．

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2015-2016学年山东省淄博七中高二下学期期中数学试卷（理科）

一、选择题：

二、填空题：

三、解答题：

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一、选择题：

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