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题型：解答题题类：难易度：普通

湖北省华中师范大学东湖开发区第一附属中学2025届高三上学期第一次调研测试数学试题

某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以 $\text{[math]}$ 为圆心的半圆及直径 $\text{[math]}$ 围成．在此区域内原有一个以 $\text{[math]}$ 为直径、 $\text{[math]}$ 为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在半圆 $\text{[math]}$ 与半圆 $\text{[math]}$ 的圆弧上，且 $\text{[math]}$ 与半圆 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ 长为40米，设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ．（上述图形均视作在同一平面内）

（1）记四边形 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的表达式；

（2）要使改建成的展示区 $\text{[math]}$ 的面积最大，求 $\text{[math]}$ 的值．

举一反三

若直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 有公共点，则实数 $\text{[math]}$ 取值范围是（）

设函数f（x）=e^x﹣2ax，x∈R．

（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）在（1）的条件下，求证：f（x）＞0；

（3）当a＞ $\text{[math]}$ 时，求函数f（x）在[0，2a]上的最小值和最大值．

设点M（x₀ ， 1），若在圆O：x²+y²=1上存在两个不同的点N_i（i=1，2），使得∠OMN_i=45°，且三点M，N₁ ， N₂在同一直线上，则x₀的取值范围是{#blank#}1{#/blank#}．

已知函数f（x）= $\text{[math]}$ ，g（x）=lnx，其中e为自然对数的底数．

已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若对任意的 $\text{[math]}$ ，存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值为（）

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