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题型：解决问题题类：难易度：普通

2024.8.17重庆市西南大学附属中学小升初数学练习题

一个三位数，各数位数字均不为0．将它的三个数位的数字、三个数位的数字两两乘积、三个数位数字的乘积相加，恰好等于它本身，则称这个三位数为“长久数”。如： $\text{[math]}$ ，所以123不是“长久数”，求最小的“长久数”。

举一反三

已知2@3-2+3+4； 7@2=7+8； 3@5=3+4+5+6+7，依此规律，若n@8=68， n= {#blank#}1{#/blank#}。

对大于0的自然数n规定一种运算“G”：

当n是奇数时，G（n）=3n+1；
当n是偶数时，G（n）等于n连续被2除，直到商是奇数。将k次“G”运算记作 $\text{[math]}$ 、如G¹（5）=3×5+1=16，G²（5）=G¹（16）=16÷2÷2÷2÷2=1，G³（5）=3×1+1=4，G⁴（5）=4÷2÷2=1.
计算：

（定义新运算）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”。将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）。例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以，F（123）=6。

(定义新运算)对于任意非零自然数 $\text{[math]}$ ，我们规定 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ {#blank#}1{#/blank#}。

一个正整数的各位数字都相同，我们称这样的数为 “称心数”，如 $\text{[math]}$ ，对任意一个三位数 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为 “相异数”，将一个 “相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和记为 $\text{[math]}$ ，如 $\text{[math]}$ ，对调百位与十位上的数字得到 213 ，对调百位与个位上的数字得到 321 ，对调十位与个位上的数字得到 132 ，这三个新三位数的和 $\text{[math]}$ ．

在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数一"金典数"。定义：对于三位自然数N ，各位数字都不为0，且它的百位数字的2倍与十位数字和个位数字之和恰好能被7整除，则称这个自然数N为“金典数”，例如：415是金典数”。因为4，1，5都不为0，且 $\text{[math]}$ ， 14能被7整除；412不是“金典数”，因为 $\text{[math]}$ ， 11不能被7整除。

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