- 二一组卷

题型：解答题题类：难易度：普通

四川省遂宁市遂宁中学校2025届高三上学期8月月考数学试题

设某幼苗从观察之日起，第 $\text{[math]}$ 天的高度为 $\text{[math]}$ ，测得的一些数据如下表所示：

第 $\text{[math]}$ 天	1	4	9	16	25	36	49
高度 $\text{[math]}$	0	4	7	9	11	12	13

作出这组数据的散点图发现： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ （天）之间近似满足头系式 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为大于0的常数．

（1）、试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 作出估计，并求出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的经验回归方程；

（2）、在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的4个点，记这4个点中幼苗的高度大于 $\text{[math]}$ 的点的个数为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望．

附：对于一组数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ，其回归直线方程 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

举一反三

某中学校本课程开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生．

某运动员射击一次所得环数X的分布如下：

X	7	8	9	10
P	0.2	0.3	0.3	0.2

现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ．

（Ⅰ）求该运动员两次都命中7环的概率；

（Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望．

某绿化队甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技能考核．

为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，国家对消费者购买新能源汽车给予补贴，其中对纯电动乘用车补贴标准如表：

新能源汽车补贴标准
车辆类型	续驶里程R（公里）
	100≤R＜180	180≤R＜280	＜280
纯电动乘用车	2.5万元/辆	4万元/辆	6万元/辆

某校研究性学习小组，从汽车市场上随机选取了M辆纯电动乘用车，根据其续驶里程R（单次充电后能行驶的最大里程）作出了频率与频数的统计表：

分组	频数	频率
100≤R＜180	3	0.3
180≤R＜280	6	x
R≥280	y	z
合计	M	1

我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）求直方图中a的值；

（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X，求X的分布列与数学期望．

（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值（精确到0.01），并说明理由．

已知x，y的取值如下表所示：

x	2	3	4
y	6	4	5

如果y与x线性相关，且线性回归方程为，则 $\text{[math]}$ ＝(　　)

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