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题型：解答题题类：难易度：普通

湖北省宜昌市远安县第一高级中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试卷

某手机企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，统计了近10年投入的年研发费用 $\text{[math]}$ 千万元与年销售量 $\text{[math]}$ 千万件的数据，得到散点如图，对数据作出如下处理：令 $\text{[math]}$ ，得到相关统计量的值如表：

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
30.5	15	15	46.5

附：线性回归方程 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）、利用散点图判断 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 哪一个更适合作为年研发费用 $\text{[math]}$ 和年销售量 $\text{[math]}$ 的回归类型（不必说明理由），并根据数据，求出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的回归方程；

（2）、已知企业年利润千万元与 $\text{[math]}$ 的关系式为 $\text{[math]}$ （其中为自然对数的底数），根据（1）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？

举一反三

已知函数f（x）=2lnx﹣ax+a（a∈R）．

已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导数f'（x）在R上恒有f'（x）＜1（x∈R），则不等式f（x）＞x+1的解集为（）

设函数f（x）=lnx，g（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2f（x）．

（Ⅰ）当a=1时，求函数g（x）的单调区间；

（Ⅱ）设F（x）=|f（x）|+ $\text{[math]}$ （b＞0）．对任意x₁ ， x₂∈（0，2]，x₁≠x₂ ，都有 $\text{[math]}$ ＜﹣1，求实数b的取值范围．

已知函数f(x)=e^x+bx+3a(e为自然对数的底数，a∈R)，且f(x)在x=ln3处取得极小值．

(I)求b的值及f(x)的单调区间；

(II)求证：当a> $\text{[math]}$ ，且x>0时，不等式 $\text{[math]}$ 以成立．

从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．设 $\text{[math]}$ ，五个正方形的面积和为S．

（1）求面积S关于 $\text{[math]}$ 的函数表达式，并求定义域；

（2）求面积S的最小值及此时 $\text{[math]}$ 的值．

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