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题型：解决问题题类：难易度：困难

2021.8.25树人八中小升初数学测试卷

对于任意自然数n，定义：△n为不超过n的所有自然数之和的个位数字，例如△4表示0+1+2+3+4=10的个位数字，即△4=0；请回答下列问题：

（1）、△2021=。

（2）、是否存在自然数n满足△（△n）=n，若存在，求出所有满足条件的自然数；若不存在。请说明理由。

（3）、计算：（△1）+（△2）+（△3）+…+（△2021）。

举一反三

规定☆是一种运算，并满足：a☆b=ab-2a÷b，比如：3☆5=3×5-2×3÷5，计算：（8☆4）☆（-7）的值为{#blank#}1{#/blank#}。

一个能被13整除的自然数我们称为十三数，“十三数”的特征是：若把这个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除。例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两数的差是383-357=26。26能被13整除，因此383357是“十三数”。

如果一个自然数A，满足千位与十位的数字之和为8，百位与个位数字之和为5，则称A为“宏志数”，交换千位数字与十位改字、交换百位与个位数字得到新的四位数A'。 $\text{[math]}$ A的千位与百位数字之差记为Q（A），F（A）= $\text{[math]}$

如果a*b表示a的5倍减去b的 $\text{[math]}$ ，例如：1*3=1×5-3× $\text{[math]}$ =4根据以上的规定，计算12*9={#blank#}1{#/blank#}。

对于一个两位正整数. $\text{[math]}$ 且x、y为正整数)，我们把十位上的数与个位上的数的平方和叫做t的“平方和数”，把十位上的数与个位上的数的平方差叫做t的“平方差数”.例如：对数62来说， $\text{[math]}$ 所以40和32就分别是62的“平方和数”与”平方差数”。

阅读材料，解决以下问题：
材料一：在研究数的整除时发现：能被5、25、125、625整除的数的特征是：分别看这个数的末一位、末两位、未三位、未四位即可。推广成一条结论：未n位能被5ⁿ整险的数，本身必能被5ⁿ整除；反过来，末n位不能被5ⁿ整除的数，本身必不能被5ⁿ整除。例如探究992250能否被25、625整除时，可按下列步骤计算：
∵25=5² ， 50÷25=2是整数

∴992250能被 25 整除。

∵625=5⁴ ， 2250÷625=3.6不是整数

∴992250不能被625整除。

材料二·：用奇偶位差法判断一个数能否被11这个数整除时，可把这个数的奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，看差能否被11整除。若差能被11整除，则原数能被11整除。反之则不能。

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