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题型：解答题题类：难易度：普通

【2022.12.09】数据谷八中真题精编（七）

一个能被13整除的自然数我们称为十三数，“十三数”的特征是：若把这个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除。例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两数的差是383-357=26。26能被13整除，因此383357是“十三数”。

（1）、判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由。

（2）、若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”

①求证：任意一个四位“间同数”能被101整除。

②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求淯足条件的所有四位数的最大值与最小值之差。

举一反三

规定M※N=5M﹣4N，若x※（5※2）=14，则x={#blank#}1{#/blank#} ．

材料一：一正整数，如果它既能被13整除，又能被14整除，那么我们称这样的数为“一生一世”数（数字1314的谐音）．例如：正整数364， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则364是“一生一世”数．

材料2：若一个正整数m，它既能被a整除，又能被b整除，且a与b互素（即a与b的公约数只有1），则m一定能被ab整除．例如：正整数364，364÷13=28，364÷14=26，因为13和14互素，则 $\text{[math]}$ ，即364一定能被182整除．

定义 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ {#blank#}1{#/blank#}。

对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为”相异数”．将一个”相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F(n)．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213 + 321 + 132 = 666，666÷111=6，所以F(123)= 6．

已知2@3-2+3+4； 7@2=7+8； 3@5=3+4+5+6+7，依此规律，若n@8=68， n= {#blank#}1{#/blank#}。

若规定aΔb=a-b+a×b，则20Δ（6Δ2）={#blank#}1{#/blank#} 。

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