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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

福建省青少年“大梦杯”2022年数学水平测试试卷

已知矩形ABCD的边AB=21，BC=19，r是给定的小于1的正实数.

（1）、在矩形ABCD内任意放入114个直径为1的圆.证明：在矩形ABCD内一定还可以放入一个直径为r的圆，它和这114个圆都没有交点（也不在某个圆的内部）；

（2）、在矩形ABCD内任意放入95个单位正方形（边长为1的正方形）.证明：在矩形ABCD内一定还可以放入一个直径为r的圆，它和这95个正方形都没有交点（也不在某个正方形的内部）.

举一反三

11名学生到老师家借书；老师有A、B、C、D四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本．试证明：必有两个学生所借的书，类型与本数相同.

9个点任意放在一个边长为2的正方形中．如果任意三点不在同一直线上，那么一定存在一个以这些点为顶点的三角形面积面积不超过 $\text{[math]}$ 。

平面上有A、B、C、D、E、F六个点，其中没有三点共线．每两点之间都用红线或蓝线连结；求证：不管怎样连结，至少存在一个三边同色的三角形．

从1到100这100个自然数中任取51个．求证：其中必有两个数，它们的差是50．

任意的52个自然数中，必有两个数的和或差为100的倍数．

任意给定2007个自然数．证明：其中必有若干个自然数，和是2007的倍数(单独1个数也看作和)．

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