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题型：解答题题类：常考题难易度：普通

河南省商丘市部分学校联考2020-2021学年高二下学期理数阶段性测试试卷（五）

在如图所示的数阵中，从任意一个数开始依次从左下方选出来的数可组成等差数列，如：2，4，6，8，…；依次选出来的数可组成等比数列，如：2，4，8，16，….

$\text{[math]}$

记第 $\text{[math]}$ 行第 $\text{[math]}$ 个数为 $\text{[math]}$ .

（1）、若 $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的表达式，并归纳出 $\text{[math]}$ 的表达式；

（2）、求第10行所有数的和 $\text{[math]}$ .

举一反三

观察下列数的特点1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中，第90项是（　　）

已知：sin²30°+sin²90°+sin²150°= $\text{[math]}$ ，sin²5°+sin²65°+sin²125°= $\text{[math]}$ ．通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明．

定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数，我们可以把1拆分成多个不同的单位分数之和．例如：1= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，1= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，1= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，…，依此拆分法可得1= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，其中m，n∈N^* ，则m﹣n=（）

观察下列式子f₁（x，y）= $\text{[math]}$ ，f₂（x，y）= $\text{[math]}$ ，f₃（x，y）= $\text{[math]}$ ，f₄（x，y）= $\text{[math]}$ ，…，根据以上事实，由归纳推理可得，当n∈N^* ，时，f_n（x，y）={#blank#}1{#/blank#}．

给出下列等式：

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

由以上等式可推出一个一般结论：

对于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ {#blank#}1{#/blank#}．

古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：

他们研究过图中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数，由以上规律，则这些三角形数从小到大形成一个数列 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 的值为（）

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