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题型：综合题题类：真题难易度：困难

贵州省铜仁市2020年中考数学试卷

如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是抛物线与y轴的交点.

（1）、求抛物线的解析式；

（2）、点 $\text{[math]}$ 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设 $\text{[math]}$ 的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围）和 $\text{[math]}$ 的最大值；

（3）、点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标.

举一反三

如图，直线y=x+2与抛物线y=ax²+bx+6（a≠0）相交于A（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．

如图(1)，直线y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ 与x轴交于点A、与y轴交于点D，以AD为腰，以x轴为底作等腰梯形ABCD(AB＞CD)，且等腰梯形的面积是 $\text{[math]}$ ，抛物线经过等腰梯形的四个顶点.

图(1)
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 如图（2）若点P为BC上的—个动点（与B、C不重合），以P为圆心，BP长为半径作圆，与 $\text{[math]}$ 轴的另一个交点为E，作EF⊥AD，垂足为F，请判断EF与⊙P的位置关系，并给以证明；

图（2）
(3) 在（2）的条件下，是否存在点P，使⊙P与y轴相切，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物面，经过锅心和盖心的纵断面是由两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”．锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图1所示，如果把锅纵断面的抛物线记为C₁ ，把锅盖纵断面的抛物线记为C₂ ．

如图，正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，抛物线L经过O，P，A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．

如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．

已知：正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上，设点B（4，4），点P（t，0）是x轴上一动点，过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交直线BC于点D，连AD．

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