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题型：解答题题类：模拟题难易度：普通

2017年河南省南阳、信阳等六市高考数学一模试卷（理科）

如图所示的几何体中，ABC﹣A₁B₁C₁为三棱柱，且AA₁⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．

（1）、若AA₁=AC，求证：AC₁⊥平面A₁B₁CD；

（2）、若CD=2，AA₁=λAC，二面角A﹣C₁D﹣C的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求三棱锥C₁﹣A₁CD的体积．

举一反三

如图，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，底面是边长为2的正三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，D为AB的中点，且A₁D与底面ABC所成角的正切值为2，则三棱锥A₁﹣ACD外接球的表面积为{#blank#}1{#/blank#}．

我们知道，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为1：4，类比该命题得，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为{#blank#}1{#/blank#}．

如图，在直三棱柱A₁B₁C₁﹣ABC中，侧面ABB₁A₁是边长为2的正方形，直角三角形边满足AC=BC，E是CB₁上的点，且BE⊥平面ACB₁ ．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB₁C；

（Ⅱ）求二面角B﹣AB₁﹣C的平面角的余弦值．

已知某几何体的正视图、侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形（尺寸如图所示）．

如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的正方形， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点.

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的余弦.

如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点.

（Ⅰ）求证：EF∥平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）若平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ º，

求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

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