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题型：解答题题类：常考题难易度：普通

2016-2017学年江苏省南京外国语学校高一上学期期中数学试卷

对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意x∈[m，n]均有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的；否则称f（x）与g（x）在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f₁（x）=log_a（x﹣3a），与f₂（x）=log_a $\text{[math]}$ （a＞0，a≠1），给定区间[a+2，a+3]．

（1）、若f₁（x）与f₁（x）在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，求a的取值范围；

（2）、讨论f₁（x）与f₁（x）在给定区间[a+2，a+3]上是否是接近的？

举一反三

若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y=f（x）的图象上；②P，Q关于原点对称，则称（P，Q）是函数y=f（x）的一个“伙伴点组”（点组（P，Q）与（Q，P）看作同一个“伙伴点组”）．已知函数 $\text{[math]}$ ，有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是（　　）

定义：关于x的两个不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分别为（a，b）和 $\text{[math]}$ ，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式 $\text{[math]}$ 与不等式2x²+4xsin2θ+1＜0为对偶不等式，且θ∈（0，π），则θ={#blank#}1{#/blank#}

定义函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使 $\text{[math]}$ =C，则称函数f（x）在D上的“均值”为C，已知f（x）=log₂x，x∈[2，8]，则函数f（x）在[2，8]上的“均值”为（）

已知f（x）在定义域（0，+∞）是单调函数，当x∈（0，+∞）时，都有f[f（x）﹣ $\text{[math]}$ ]=2，则f（ $\text{[math]}$ ）的值是{#blank#}1{#/blank#}．

定义在[2﹣c² ， c]上的奇函数f（x）=a﹣ $\text{[math]}$ 的值域是{#blank#}1{#/blank#}．

已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf（x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．

（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）

（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分

（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；

（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；

（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=a^x一定是Ω函数．

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