- 二一组卷

题型：综合题题类：模拟题难易度：普通

浙教版2018-2019学年重点高中自主招生数学模拟试卷（五）

古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数位正方形数（四边形数）．

（1）、请你写出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为；

（2）、试证明：当k为正整数时，k（k+1）（k+2）（k+3）+1必须为正方形数；

（3）、记第n个k变形数位N（n，k）（k≥3）．例如N（1，3）＝1，N（2，3）＝3，N（2，4）＝4．

①试直接写出N（n，3）N（n，4）的表达式；

②通过进一步的研究发现N（n，5）＝ $\text{[math]}$ n²﹣ $\text{[math]}$ n，N（n，6）＝2n²﹣n，…，请你推测N（n，k）（k≥3）的表达式，并由此计算N（10，24）的值．

举一反三

“十一”黄金周，山西乔家大院迎来了全国各地的游客，小渝就是数万游客中的一个；他在游览过程中，对传统建筑非常感兴趣．并发现窗户的每个窗格上都贴有剪纸．如图，其中“O”代表的就是剪纸．请问第6个图中剪纸的个数为（）

如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A (1，2)，B (－2， 2)， C (－2，－2)，D (1 ，－2)，把一根长为2017个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A→D→C→B→A……的顺序紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是（）

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