- 二一组卷

题型：综合题题类：常考题难易度：困难

浙教版2019中考数学复习专题之圆综合题

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC的中点，过点A、D作⊙O，⊙O与AB交于点E，AE是⊙O的直径，AD是⊙O的一条弦，且∠A+∠CDB＝90°，AD：AE＝4：5，BC＝6．

（1）、求证：直线BD与⊙O相切；

（2）、下面是根据题中条件求直径AE长的过程，阅读后请按要求解决下列问题：

解法1．∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°＝∠C，∴DE∥BC

又∵D是AC的中点，∴ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ，∴E是AB的中点，∴DE＝ $\text{[math]}$ BC＝3．

在Rt△ADE中，设AD＝4x，AE＝5x，∴（4x）²+3²＝（5x）² ，

解之得：x₁＝1，x₂＝﹣1（舍去），∴AE＝5x＝5，即⊙O的直径为5．

解法2．∵∠A+∠CDB＝90°，又∵∠A+∠CBA＝90°，∴∠CDB＝∠CBA，∠C＝∠C，

∴△DCB∽△BCA，∴ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ，∴BC²＝DC•AC，又∵AC＝2DC＝2AD，∴BC²＝AD•2AD，

AD＝ $\text{[math]}$ AE，6²＝2×（ $\text{[math]}$ AE）² ， AE＝ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

以上两种解法结果不同，那么问题出在哪里呢？

①下列说法正确的是。

A．解法1有错 B．解法2有错 C．解法1、2都有错

D．解法1、2都没错，但题中条件“AD：AE＝4：5”是多余的

②在①中若你选择的是A、B、C中一个，请说明错在哪里？若你选的是D，请删去“AD；AE＝4：5”这个条件，求出⊙O的直径．

举一反三

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