2025高考一轮复习（人教A版）第二十三讲空间直线、平面垂直的判定与性质

1. 已知 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 的方向向量， $\text{[math]}$ 分别为平面 $\text{[math]}$ 的法向量（ $\text{[math]}$ 不重合），则下列说法中，正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 设 $\text{[math]}$ 为直线， $\text{[math]}$ 为平面，则 $\text{[math]}$ 的必要不充分条件是（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 内的无数条直线垂直 B . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 内任意直线都垂直 C . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 内两条不平行直线垂直 D . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 都垂直于同一平面

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3. 如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱线长为1，线段 $\text{[math]}$ 上有两个动点E，F，且 $\text{[math]}$ ，则下列结论中错误的是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 平面ABCD C . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为定值 D . 异面直线AE，BF所成的角为定值

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4. 下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点D、E、F分别为其所在棱的中点，能得出 $\text{[math]}$ 平面DEF的是（）

A . B . C . D .

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5. 如图，在棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，则下列结论正确的是( )

A . 存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ B . 存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积是定值 D . 存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$

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6. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 面积为 $\text{[math]}$ 的平行四边形 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 旋转，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则( )

A . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ D . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

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7. 已知平面 $\text{[math]}$ .则“ $\text{[math]}$ 两两垂直”是“ $\text{[math]}$ 两两垂直”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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8. 如图所示，圆柱 $\text{[math]}$ 的底面半径为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 的直径，点 $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 上的动点，点 $\text{[math]}$ 为圆柱侧面上的动点（不含边界）， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知正方形 $\text{[math]}$ 的边长为2，若将正方形 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 折叠为三棱锥 $\text{[math]}$ ，则在折叠过程中，不能出现（）

A . $\text{[math]}$ B . 面 $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 如图，在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（）

A . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 中点时，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 异面直线 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 在同一个球面上 D . $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 点轨迹长度为 $\text{[math]}$

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11. 如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足 $\text{[math]}$ 的是（）

A . B . C . D .

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12. 如图，在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， P，D三点共线 B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

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13. 正方体 $\text{[math]}$ 中，下列结论正确的是（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 与平面ABCD所成角为 $\text{[math]}$ C . 二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ D . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

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14. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为 $\text{[math]}$ ，故其各个顶点的曲率均为 $\text{[math]}$ ．如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，点A的曲率为 $\text{[math]}$ ， N ， M分别为AB ， $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ．

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．

（2）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．

（3）若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的正切值．

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15. 如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK=t，则t的取值范围是 .

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16. 如图，以等腰直角三角形斜边 $\text{[math]}$ 上的高 $\text{[math]}$ 为折痕折成四面体 $\text{[math]}$ ．当四面体 $\text{[math]}$ 中满足平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 时，则
（1） $\text{[math]}$ ；
（2）平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（3） $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形
以上结论中正确的是（填写你认为正确的结论序号）．

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17. 如图所示：多面体 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 为菱形，四边形 $\text{[math]}$ 为直角梯形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

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18. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ ⊥平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证：平面 $\text{[math]}$ ⊥平面 $\text{[math]}$ ；

（2）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.

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19. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 上的点，满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 的重心，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起到 $\text{[math]}$ 的位置，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，如图所示．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，若存在，求出 $\text{[math]}$ 的长度；若不存在，请说明理由．

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20. 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD是正方形，Q为PD的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，再从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值；

（3）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离．
条件①：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
条件②： $\text{[math]}$ ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

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一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

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