2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破19 正方形的十字架模型

1. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF ， AE、BF相交于点O ，下列结论：

（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4） $\text{[math]}$ 中正确的有（）

A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个

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2. 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF＝CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（　）

A . BE＝AF B . ∠DAF＝∠BEC C . ∠AFB+∠BEC＝90° D . AG⊥BE

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3. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S_△AOB=S_四边形_DEOF中，正确结论的个数为（　）

A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个

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4. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上（不与端点重合），且BF＝CE，BE与AF相交于点G，则下列结论不正确的是（）

A . BE＝AF B . ∠DAF＝∠BEC C . AG＝EG D . AG⊥EG

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5. 如图，点E、F分别是正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ 相交于点G，下列结论错误的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，AE与BF相交于点G，连接AC交BF于点H.若CE＝DF，BG＝GH，AB＝2，则△CFH的面积为（）

A . 3 $\text{[math]}$ ﹣4 B . 3﹣2 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且AE=DF，AF，BE交于点G。若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN，EF，M，N，E，F分别在边AB，CD，AD，BC上．小明认为：若MN＝EF，则MN⊥EF；小亮认为：若MN⊥EF，则MN＝EF，你认为（）

A . 仅小明对 B . 仅小亮对 C . 两人都对 D . 两人都不对

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10. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ 上的点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为．

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11. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，下列五个结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ ，一定成立的有．(填序号)

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12. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，连结DE，过点A作AG⊥ED交DE 于点F，交CD于点G.

（1）求证：△ADG≌△DCE.

（2）连结 BF.求证：AB=BF.

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13. 如图，正方形ABCD中，点E ， F ， H分别是AB ， BC ， CD的中点，CE ， DF交于点G ，连接HG ．

（1）求证：△BCE≌△CDF；

（2）若BE＝4，求GH的值．

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14. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且 $\text{[math]}$ 与BE相交于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ．

（2）若 $\text{[math]}$ ，求AG的长．

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15.

（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别是边BC，CD上两点，且BM=CN，连结AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．

（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CD方向向终点C和D运动，连结AM和BN，交于点P．求△APB周长的最大值．

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16. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边BC上一点，连结AE交BD于点M，过点B作BF⊥AE于点P，交AC于点G，交CD于点F.

（1）求证：△ABE≌△BCF.

（2）求证：OM=OG.

（3）若AE平分∠BAC，求证：BM²=2OM².

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17. 如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上(不与点A，点D重合)，连结BE，作 AG⊥BE于点F，交边 CD于点G，连结 CF.

（1）求证：BE=AG.

（2）已知E 是边AD 的中点，AD=10.
①分别求AF，BF的长.
②求证：CB=CF.

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18. 如图 1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上运动．

（1）当点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 重合时（如图2），过点 $\text{[math]}$ 做 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为点 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系；

（2）当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上运动时，过点 $\text{[math]}$ 做 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为点 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （如图 3 ），（1）中的结论依旧成立吗？请证明；

（3）如图 4 ，当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上运动时， $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上一点，若 $\text{[math]}$ ，请问是否始终能证明 $\text{[math]}$ ？请你说明理由．

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19. 问题背景：如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，边长为4．点M，N是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上两点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点O．

（1）探索发现：探索线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系，并说明理由；

（2）探索发现：若点E，F分别是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的中点，计算 $\text{[math]}$ 的长；

（3）拓展提高：延长 $\text{[math]}$ 至P，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长．

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20. 如图

（1）【问题原型】华师版教材八年级下册第 $\text{[math]}$ 页有这样一道题：
如图 $\text{[math]}$ ，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 求证： $\text{[math]}$ ．
请你完成这一问题的证明过程．

（2）【问题应用】如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ．
①如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点时，四边形 $\text{[math]}$ 的面积为；

②如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上运动时， $\text{[math]}$ 的最小值为．

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21. 在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．

（1）【感知】如图 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 易证 $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ 不需要证明 $\text{[math]}$

（2）【探究】如图 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
①求证： $\text{[math]}$ ．

②连结 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为 ▲ ．

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22. 材料：“八年级下册课本第187页例2：四边形 $\text{[math]}$ 是一块正方形的土地，要在这块土地上修建两条笔直的、互相垂直的小路，把这块土地分成面积相等的四部分．你有哪些不同的方案？画出图形，并说明理由．”
小亮在学习了上述解决方案后，发现三种分割方案的图形都是中心对称图形．这对于他创作数学社团图标注入了灵感，经过思考，小亮设计了一个中心对称图形的社团图标，如图所示．已知O为正方形 $\text{[math]}$ 的对称中心， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）请你说明此图标是中心对称图形；

（2）若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三者满足 $\text{[math]}$ ．请证明．

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2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破19 正方形的十字架模型

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

五、实践探究题

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