不一定，理由如下：

如图，以点 $M$ 为圆心，以线段 $B E$ 的长为半径作弧，与直线 $A B$ 交于点 $N$ 及点 $N^{'}$

连接 $M N$ 、 $M N^{'}$ ， $M N$ 交 $B E$ 于点 $O$ ， $M N^{'}$ 交 $B E$ 于点 $G$ ，过点 $A$ 作 $A H ∥ M N$ 交 $B E$ 于点 $J$ ，

∴ $M N = M N^{'}$ ，

∵ $M N = B E$ ，

∴ $M N^{'} = M N = B E$ ，

∵四边形 $A B C D$ 是正方形，

∴ $A B / / C D$ ， $A D = B A$ ， $∠ A D H = ∠ B A E = 90 °$ ，

∴四边形 $A H M N$ 是平行四边形，

∴ $A H = M N$ ，

∴ $A H = B E$ ，

在 $R t △ A D H$ 与 $R t △ B A E$ 中

${\begin{array}{l} A H = B E \\ A D = B A \end{array}$ ，

∴ $R t △ A D H ≌ R t △ B A E$ （ $H L$ ），

∴ $∠ D A H = ∠ A B E$ ，

∵ $∠ D A H + ∠ H A B = 90 °$ ，

∴ $∠ H A B + ∠ A B E = 90 °$ ，

∴ $∠ A J B = 90 °$ ，

∴ $A H ⊥ B E$ ，

∴ $M N ⊥ B E$ ，

∴ $∠ G O M = 90 °$ ，

∴ $∠ M G O < 90 °$ ，

∴ $M N^{'}$ 与 $B E$ 不垂直，但 $M N^{'} = M N = B E$ ，

综上所述：若 $M N = B E$ ， $M N$ 与 $B E$ 不一定始终垂直．

2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破19 正方形的十字架模型