2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破16 含60°角的菱形

1. 如图，已知菱形 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则对角线 $\text{[math]}$ 的长是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 根据四边形的不稳定性，当变动∠B的度数时，菱形ABCD的形状会发生改变，当∠B=60°时，如图①所示，AC= $\text{[math]}$ ；当∠B=90°时，如图②所示，AC等于( )

① ②

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . 2 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，连接AC，若AC＝6，则菱形ABCD的周长为（　　）

A . 24 B . 30 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠BEC'的大小为（）

A . 20° B . 25° C . 30° D . 35°

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5. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝8cm，则菱形ABCD的面积是（　　）cm²

A . 16 $\text{[math]}$ B . 32 $\text{[math]}$ C . 64 $\text{[math]}$ D . 32 $\text{[math]}$

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6. 如图，在菱形ABCD中，E是对角线AC上的一点，过点E作FH $\text{[math]}$ AD，GI $\text{[math]}$ AB，点F，G，H，I分别在AB，BC，CD，DA上.若AC＝a，∠B＝60°，则图中阴影部分的周长为（）

A . $\text{[math]}$ B . 4a C . $\text{[math]}$ D . 6a

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7. 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E、F同时从A、C两点出发，分别沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动（到点B停止），点E的速度为 $\text{[math]}$ ，点F的速度为 $\text{[math]}$ ．若经过t秒时， $\text{[math]}$ 为等边三角形，则t的值为（　　）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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8. 如图，在边长为4的菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 边上的动点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则以下结论正确的是（）
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 是等边三角形；③四边形 $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ 面积有最大值为 $\text{[math]}$ ．

A . ①② B . ①②③ C . ①②④ D . ①②③④

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9. 如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得∠B＝60°，对角线AC＝10cm，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接BE，则图3中△BCE的面积为（　　）

A . $\text{[math]}$ cm² B . 50cm² C . $\text{[math]}$ cm² D . 25cm²

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10. 如图，AC为边长为2 $\text{[math]}$ 的菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB面积的最大值是（）

A . 2 $\text{[math]}$ B . 4+2 $\text{[math]}$ C . 1+ $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 如图，菱形ABCD的周长是16，∠ABC=60°，则对角线 AC的长为.

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12. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E ， F分别是AB ， AD的中点，DE ， BF相交于点G ，连接BD ， CG ．有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG＋DG＝CG；③BD＝CG；④ $\text{[math]}$ ．其中正确的有（将正确答案的序号填在横线上）．

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13. 如图， $\text{[math]}$ 是以菱形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称，若点B的坐标是 $\text{[math]}$ ，则点E的坐标为．

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14. 如图，在边长为5的菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E、点F分别在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长度为．

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15. 三个形状、大小相同的菱形按如图的方式摆放，若 $\text{[math]}$ 为正三角形，且边长为6，则一个菱形的面积为.

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16. 如图，已知菱形 $\text{[math]}$ 的边长为6，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 边上，将菱形沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点B正好落在 $\text{[math]}$ 边上的点G处．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

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17. 如图，在菱形ABCD中，∠C=60°，O为BD的中点，点E在AD上，点F在AB的延长线上，且∠EOF=120°．求证：AE+BF= $\text{[math]}$ AB．

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18. 如图1，在正方形ABCD中，P是BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE ， PE交CD于F ．
图1 图2

（1）求证：PC=PE；

（2）求∠CPE=；

（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC=120^o时，连接CE ，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

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19. 已知菱形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）如图1， $\text{[math]}$ ，点E在边 $\text{[math]}$ 上，点F在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

（2）如图2， $\text{[math]}$ ，点F在边 $\text{[math]}$ 上，点E在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，过点F作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点N ，连接 $\text{[math]}$ ，过点N作 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点H ，求证：点F为 $\text{[math]}$ 的中点；

（3）如图3， $\text{[math]}$ ，点E为边 $\text{[math]}$ 的中点，点F在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

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20. 如图 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）点 $\text{[math]}$ 坐标为，四边形 $\text{[math]}$ 的面积为；

（2）如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动， $\text{[math]}$ 为等边三角形．
$\text{[math]}$ 求证： $\text{[math]}$ ，并求 $\text{[math]}$ 的最小值；
$\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动时，点 $\text{[math]}$ 的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点 $\text{[math]}$ 的横坐标 $\text{[math]}$ 若变化，请说明理由．

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21. 如图，菱形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 相交于点O ，过点D作 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 为矩形；

（2）若菱形 $\text{[math]}$ 的边长为4， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

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22. 如图，已知菱形ABCD的边长为6，∠B=60°，点E，F分别是边BC，CD上的动点(不与端点重合)，且∠EAF'= 60°．

（1）求证：△AEF是等边三角形．

（2）点E，F在运动过程中，四边形AECF的面积是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积．

（3）当点E在什么位置时，△ECF的面积最大，并求出此时面积的最大值．

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23. 如图，菱形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的两个动点，且满足 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的长；

（2）判断 $\text{[math]}$ 的形状；

（3）设 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

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24. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB=2CD，E为AB的中点，连结CE．

（1）求证：四边形AECD为菱形；

（2）若∠D=120°，DC=2，求△ABC的面积

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25. 如图①，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且∠EAF= 60°．

（1）写出BE，CF，AB之间的数量关系；

（2）如图②，当∠EAF绕着点A逆时针旋转到∠EAF的两边与菱形的两边相交，但不垂直时，写出BE，DF，AB三者之间的关系，证明你的结论；

（3）如图③，当∠EAF绕着点A逆时针旋转到∠EAF的两边与菱形的两边BC，CD的延长线相交，但不垂直时，请直接写出BE ，DF ，AB三者之间的关系．

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26. 如图，菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， E为边 $\text{[math]}$ 上一点，点F在 $\text{[math]}$ 的延长线上， $\text{[math]}$ ，作点F关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点G ，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）依题意补全图形，并证明 $\text{[math]}$ ；

（2）用等式表示 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明．

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27. 如图①， $\text{[math]}$ 的顶点P是正方形 $\text{[math]}$ 两条对角线的交点， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点P旋转，旋转过程中 $\text{[math]}$ 的两边分别与正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 交于点E和点F（点F与点C，D不重合）

（1）如图①，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 之间满足的数量关系是；

（2）如图②，将图①中的正方形 $\text{[math]}$ 改为 $\text{[math]}$ 的菱形，M是 $\text{[math]}$ 中点，其他条件不变，当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ．

（3）在（2）的条件下，若旋转过程中 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中， $\text{[math]}$ 之间满足的数量关系．

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28. 综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含 $\text{[math]}$ 角的菱形进行了探究．
【背景】在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别交边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点P、Q．

（1）【感知】
如图1，若点P是边 $\text{[math]}$ 的中点，小南经过探索发现了线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，请你写出这个关系式．

（2）【探究】
如图2，小阳说“点P为 $\text{[math]}$ 上任意一点时，（1）中的结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由．

（3）【应用】
小宛取出如图3所示的菱形纸片 $\text{[math]}$ ，测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 边上取一点P，连接 $\text{[math]}$ ，在菱形内部作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点Q，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长．

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2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破16 含60°角的菱形

一、选择题

二、填空题

三、综合题

四、实践探究题

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