2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之三角形

1. 绿色出行，健康出行，你我同行.某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与地面平行，AM与BC平行，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　）

A . 4 B . 4π C . 8π D . 8

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3. 如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°，保持三角板ABC不动，三角板DCE可绕点C旋转，则下列结论：①∠ACE=∠BCD；②∠BCE+∠ACD随着∠ACD的交化而变化；③当AB∥CE时，则∠ACD=60°或150°；④当∠BCE=3∠ACD时，DE一定垂直于AC．其中正确的个数是（　　）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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4. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于 $\text{[math]}$ MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S_△DAC：S_△ABC=1：3.

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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5. 如图，在三角形ABC中，AB=11，AC=15，点M是BC的中点，AD是∠BAC的角平分线，MF∥AD，则FC=（）

A . 14 B . 13 C . 12 D . 11

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6. 如图，等边 $\text{[math]}$ 内有一点E， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 3 D . $\text{[math]}$

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7. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内切圆， $\text{[math]}$ ，过点I作 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于N，M，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的半径是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 如图，点P是在正 $\text{[math]}$ ABC内一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .下列结论中正确的是（）

① $\text{[math]}$ 可以由 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转60°得到；②线段 $\text{[math]}$ ；③四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ .

A . ①②③ B . ①②④ C . ①③④ D . ②③④

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9. 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使 $\text{[math]}$ ，连接CE，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 如图，已知Rt△ABC， $\text{[math]}$ ，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点F，连接AF，则下列结论中：① $\text{[math]}$ ；②△ABD∽△ACE；③ $\text{[math]}$ ；④F为BD的中点，其中正确的有（）

A . ①②③ B . ①②④ C . ①②③④ D . ②③④

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11. 如图，C为线段AB的中点，D为AB垂直平分线上一点，连接BD ，将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE ，连接AE ，若AB＝2 $\text{[math]}$ ， AE＝4，则CD的长为．

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12. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，CA上的点，且BD=CE，连结AD，BE交于点P．连接CP，若CP⊥AP时，则AE：CE= ；设△ABC的面积为S₁ ，四边形CDPE的面积为S₂ ，则 $\text{[math]}$ ＝．

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13. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，对角线AC与BD相交于点E，若BE＝3DE，则BD＝．

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14. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A旋转，使点C落在AB边上的点E处，点B落在点D处，连接BD，CE，延长CE交BD于点F，则EF的长为

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15. 矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH.若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝.

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16. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，从点 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 运动 $\text{[math]}$ 不包括点 $\text{[math]}$ ，速度为 $\text{[math]}$ ；点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，从点 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 运动 $\text{[math]}$ 不包括点 $\text{[math]}$ ，速度为 $\text{[math]}$ 若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别从点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 同时运动，且运动时间记为 $\text{[math]}$ ，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．

（1）当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的距离为 $\text{[math]}$ ？

（2）当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ？

（3）点 $\text{[math]}$ 运动多少时间时，四边形 $\text{[math]}$ 的面积最小？最小面积是多少？

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17. 已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等腰三角形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若点D在 $\text{[math]}$ 边上运动时，总保持 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点F ．

（1） ①如图1，当点D为 $\text{[math]}$ 边中点时，则 $\text{[math]}$ 的值为 ▲ ；
②如图2，当点D不为 $\text{[math]}$ 边中点时，求证： $\text{[math]}$ ；

（2）如图3，当点D在 $\text{[math]}$ 边上运动中恰好使得 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

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18. 如图1，在直线MN上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点O ， ∠AOB＝60°，∠OCD＝45°，将三角板COD绕点O以每秒6°的速度顺时针方向转动，设转动时间为t秒．

（1）如图2，若OC平分∠MOB ，则t的最小值为；此时∠DOB﹣∠MOC＝度；（直接写答案）

（2）当三角板COD转动如图3的位置，此时OC、OD同时在直线OB的右侧，猜想∠DOB与∠MOC有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含t）

（3）若当三角板COD开始转动的同时，另一个三角板OAB也绕点O以每秒3°的速度顺时针转动，当OC旋转至射线ON上时，两三角板同时停止运动：
①当t为何值时，∠BOC＝15°；
②在转动过程中，请写出∠DOB与∠MOC的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含t）

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19. 如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中线，以 $\text{[math]}$ 为直角边在其右侧作直角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点F ， $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

（2）如图2，若将 $\text{[math]}$ 绕点C逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，探究 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 上有一点M ，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ 所在的平面内得到 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 的中点P ，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最小时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的面积．

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20. 如图， $\text{[math]}$ 是等边三角形，D为 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转120°至 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点F、G.

（1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；

（2）请猜想线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明你的猜想；

（3）当 $\text{[math]}$ 周长最小时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值.

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21. 【教材呈现】如图是华师版七年级下册数学教材第122页的部分内容．
2．如图， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，画出 $\text{[math]}$ 以点 $\text{[math]}$ 为旋转中心、逆时针旋转 $\text{[math]}$ 后的三角形．
数学课上，同学们连结 $\text{[math]}$ 便解决了此问题，随后数学老师追问： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 具有怎样的数量关系？两组同学给出两种不同方法：
甲组：由于 $\text{[math]}$ 是由 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 后得到的，所以 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为对应线段，所以 $\text{[math]}$ ．
乙组：根据题意，我们可以证明 $\text{[math]}$ ，因此 $\text{[math]}$ ．

（1）请结合图①写出乙组证明方法的完整过程．

（2）【类比探究】若将【教材呈现】中的等腰直角三角形换成等边三角形，上述结论是否仍然成立？
如图②， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都是等边三角形，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
①则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是．
②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 长为．

（3）【拓展应用】 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都是等边三角形， $\text{[math]}$ ，若将 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 旋转一周，在运动过程中，点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离设为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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22.

（1）【问题初探】数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点F是 $\text{[math]}$ 上一点，点E是 $\text{[math]}$ 延长线上的一点，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点D ，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论；
②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点M ，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论；
请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程；

（2）【类比分析】李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答，
如图4，在 $\text{[math]}$ 中，点E在线段 $\text{[math]}$ 上，D是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点N ，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

（3）【学以致用】如图5，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，点E在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上运动，过点E作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点N ，交 $\text{[math]}$ 于点D ，且 $\text{[math]}$ ，请直接写出线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

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2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之三角形

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、实践探究题

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