- 二一组卷

题型：实践探究题题类：难易度：困难

吉林省长春市长春净月高新技术产业开发区净月区2024年中考一模考试数学模拟试题

【教材呈现】如图是华师版七年级下册数学教材第122页的部分内容．

2．如图， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，画出 $\text{[math]}$ 以点 $\text{[math]}$ 为旋转中心、逆时针旋转 $\text{[math]}$ 后的三角形．

数学课上，同学们连结 $\text{[math]}$ 便解决了此问题，随后数学老师追问： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 具有怎样的数量关系？两组同学给出两种不同方法：

甲组：由于 $\text{[math]}$ 是由 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 后得到的，所以 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为对应线段，所以 $\text{[math]}$ ．

乙组：根据题意，我们可以证明 $\text{[math]}$ ，因此 $\text{[math]}$ ．

（1）、请结合图①写出乙组证明方法的完整过程．

（2）、【类比探究】若将【教材呈现】中的等腰直角三角形换成等边三角形，上述结论是否仍然成立？

如图②， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都是等边三角形，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

①则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是．

②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 长为．

（3）、【拓展应用】 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都是等边三角形， $\text{[math]}$ ，若将 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 旋转一周，在运动过程中，点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离设为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

举一反三

如图，是由边长为1个单位长度的小正方形的网格，在格点中找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的点C有{#blank#}1{#/blank#}个．