2024年中考数学热点探究十六相似图形中的分类讨论

1. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，BC＝4cm，D为AC的中点，若动点E以1cm/s的速度从点B出发，沿B→C方向运动，设点E的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为（）

A . 0.5或2 B . 0.5或3.5 C . 2或2.5 D . 2或3.5

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2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．若点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . 1 B . 2 C . 1或 $\text{[math]}$ D . 1或2

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3. 将一张三角形彩纸 $\text{[math]}$ 按如图所示的方式折叠，使点B落在边 $\text{[math]}$ 上，记为点F，折痕为 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若以点C，D，F为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似，则 $\text{[math]}$ 的长是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或4 D . $\text{[math]}$ 或4

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4. 一个钢筋三脚架三边长分别为 $\text{[math]}$ ，现在要做一个和它相似的钢筋三脚架，而只有长为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（　　）

A . 一种 B . 两种 C . 三种 D . 四种或四种以上

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5. 如图，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN的值为（）

A . 6或2 B . 3或 $\text{[math]}$ C . 2或3 D . 6或 $\text{[math]}$

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6. 如图①，在△ABC中，∠B＝108°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C→A匀速运动一周．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为v（cm），v与t的函数图象如图②所示．当BP恰好是∠ABC的一条三等分线时，t的值为（　　）

A . $\text{[math]}$ +2或5 B . $\text{[math]}$ +3或6 C . $\text{[math]}$ +3或5 D . $\text{[math]}$ +2或6

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7. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿射线 $\text{[math]}$ 平移a个单位长度（ $\text{[math]}$ ）得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 是直角三角形时，a的值为（）

A . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ B . 2或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或3

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8. 如图所示，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点分别在CD，AD上滑动.若要△ABE与以点D，点M，点N为顶点的三角形相似，则DM的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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9. 将一张 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与原来 $\text{[math]}$ 相似，则 $\text{[math]}$ 的相邻两边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的比值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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10. 如图，已知∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD= $\text{[math]}$ ，当AB的长为时，△ACB与△ADC相似．

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11. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P在BD上，由点B向点D方向移动，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似时，BP的长为.

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12. 如图是一张菱形纸片， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，把 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 对折，点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 落在菱形对角线上时，则 $\text{[math]}$ 。

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13. 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， CE是斜边AB上的中线，在直线AB上方作 $\text{[math]}$ ， DE，FE分别与AC边交于点M，N，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似时，线段CN长度为．

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14. ㉿已知半径为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 是矩形 $\text{[math]}$ 的外接圆，点 $\text{[math]}$ 是弧 $\text{[math]}$ 上的一点，分别延长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．如图甲，当点 $\text{[math]}$ 是弧 $\text{[math]}$ 的中点时， $\text{[math]}$ （用 $\text{[math]}$ 的代数式表示）；如图乙，当点 $\text{[math]}$ 是弧 $\text{[math]}$ 的中点时，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值为．

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15. 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=20 cm，BC=15 cm，现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动.如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是 2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，两点都停止运动.设运动时间为t.

（1）当t=3 s时，P，Q两点之间的距离是多少?

（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数解析式.

（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似?

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16. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为 $\text{[math]}$ ，点F的速度为 $\text{[math]}$ ，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动.设移动开始后第1秒时， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$

（1）当 $\text{[math]}$ 秒时，S的值是多少？

（2）写出S和t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；

（3）若点F在矩形的边 $\text{[math]}$ 上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由.

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17. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，点Q在AB上，且AQ=2，过Q作QR⊥AB ，垂足为Q ， QR交折线AC﹣CB于R（如图1），当点Q以每秒2个单位向终点B移动时，点P同时从A出发，以每秒6个单位的速度沿AB﹣BC﹣CA移动，设移动时间为t秒（如图2）．

（1）求△BCQ的面积S与t的函数关系式．

（2） t为何值时，QP∥AC？

（3） t为何值时，直线QR经过点P？

（4）当点P在AB上运动时，以PQ为边在AB上方所作的正方形PQMN在Rt△ABC内部，求此时t的取值范围．

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18. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的中点．动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿折线 $\text{[math]}$ 以每秒2个单位长度的速度向点 $\text{[math]}$ 运动，当点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合时，连结 $\text{[math]}$ ．作点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ ；连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．

（1）线段 $\text{[math]}$ 的长为；

（2）用含t的代数式表示线段 $\text{[math]}$ 的长；

（3）当点P在边 $\text{[math]}$ 上运动时，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的一条直角边平行时 $\text{[math]}$ 的值；

（4）当 $\text{[math]}$ 为锐角三角形时，直接写出t的取值范围．

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19. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度向终点 $\text{[math]}$ 运动，当点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 重合时，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．

（1）线段 $\text{[math]}$ 的长为； $\text{[math]}$ 用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$

（2）当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上时，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）当直线 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 的面积分成 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的两部分时，求 $\text{[math]}$ 的值；

（4）当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 的角平分线上时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

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20. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿 $\text{[math]}$ 运动，到点A停止.在点P运动的同时，点Q从点A出发以每秒1个单位的速度沿 $\text{[math]}$ 运动.当点P回到点A停止时，点Q也随之停止运动.设点P的运动时间为t秒 $\text{[math]}$ .

（1）用含t的代数式表示线段 $\text{[math]}$ 的长.

（2）以 $\text{[math]}$ 为边作矩形 $\text{[math]}$ ，使点M与点A在 $\text{[math]}$ 所在直线的两侧，且 $\text{[math]}$ .
①当点Q在边 $\text{[math]}$ 上，且点M落在 $\text{[math]}$ 上时，求t的值.
②当点M在矩形 $\text{[math]}$ 内部时，直接写出t的取值范围.

（3）点E在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ .在线段 $\text{[math]}$ 上只存在一点F，使 $\text{[math]}$ ，直接写出t的取值范围.

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2024年中考数学热点探究十六相似图形中的分类讨论

一、选择题（每题3分，共27分）

二、填空题（每空3分，共18分）

三、解答题（共6题，共75分）

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