2024年北师大版数学八（下）微素养核心突破7 因式分解的应用

1. 已知ab＝2，a-2b＝3，则4ab²-2a²b的值是（）

A . 6 B . -6 C . 12 D . -12

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2. 已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则△ABC的周长是（）

A . 3 B . 6 C . 8 D . 12

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3. 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、是三角形的三条边，那么代数式 $\text{[math]}$ 的值（）

A . 大于0 B . 等于0 C . 小于0 D . 无法确定

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4. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . -2 B . 1 C . -1 D . 2

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5. 如图，边长为a、b的长方形周长为20，面积为16，则a²b+ab²的值为（）

A . 80 B . 160 C . 320 D . 480

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6. 利用因式分解计算：3²⁰²²﹣3²⁰²¹的结果为（）

A . 2×3²⁰²¹ B . 1 C . 3 D . 3²⁰²¹

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7. 小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息： $\text{[math]}$ ，a-b，5， $\text{[math]}$ ，a， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别对应下列七个字：会、城、我、美、爱、运、丽，现将 $\text{[math]}$ 因式分解，分解结果经密码翻译呈现准确的信息是（）

A . 我爱美丽城 B . 我爱城运会 C . 城运会我爱 D . 我美城运会

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8. 我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公成法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做分组分解法.例如： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，根据上述方法，解决问题：已知a、b、c是△ABC的三边，且满足 $\text{[math]}$ ，则△ABC的形状是（）

A . 等腰三角形 B . 等边三角形 C . 直角三角形 D . 等腰直角三角形

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9. 因式分解：2xy+9﹣x²﹣y²＝．
利用因式分解计算：（﹣2）²⁰²²+（﹣2）²⁰²¹﹣2²⁰²⁰＝．

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10. 数3⁴⁸﹣1能被30以内的两位数（偶数）整除，这个数是．

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11. 某工人师傅要制作一个底面为正方形的无盖长方体盒子，他在一块边长为a的正方形铁皮的四个角，各剪去一个边长为b（ $\text{[math]}$ ），如图所示，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则剩余部分的面积是．

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12. 若一个四位数 $\text{[math]}$ 的个位数字与十位数字的和与它们的差之积恰好是 $\text{[math]}$ 去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数 $\text{[math]}$ 称为“和差数”，令 $\text{[math]}$ 的千位数字为 $\text{[math]}$ ，百位数字为 $\text{[math]}$ ，十位数字为 $\text{[math]}$ ，个位数字为 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为整数时， $\text{[math]}$ 的最大值为．

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13. 对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“整倍数”．例如：∵ $\text{[math]}$ ， ∴135是9的“整倍数”，又如∵ $\text{[math]}$ ∴524不是11的“整倍数”．三位数A是12的“整倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且 $\text{[math]}$ ．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为 $\text{[math]}$ ，最小的两位数记为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为整数，求出满足条件的数A的最小值为．

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14. 如图

（1）如图1，现有编号为①②③④的四种长方体各若干块，现取其中两块拼成一个大长方体如图2，据此写出一个多项式的因式分解：．

（2）若要用这四种长方体拼成一个棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体，需要②号长方体个，③号长方体个，据此写出一个多项式的因式分解：．

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15. 对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当 $\text{[math]}$ 时，一定有 $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时，一定有 $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时，一定有 $\text{[math]}$ ．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．请根据以上材料完成下面的题目：

（1）已知： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，试判断y的符号；

（2）已知：a、b、c为三角形的三边，比较 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的大小．

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16. 我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图1可以用来解释 $\text{[math]}$ ．现有足够多的正方形卡片1号、2号，长方形卡片3号，如图3.

（1）根据图2完成因式分解： $\text{[math]}$ ；

（2）现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张，在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为；（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）

（3）图1中的1号和2号卡片所占面积之和为 $\text{[math]}$ ，两个3号卡片所占面积之和为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

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17. 有些多项式的某些项可以通过适当地结合，（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如将 $\text{[math]}$ 因式分解。
原式 $\text{[math]}$ 。
请在这种方法的启发下，解决以下问题：

（1）分解因式 $\text{[math]}$ ；

（2） $\text{[math]}$ 三边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由。

（3） “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形。若直角三角形的两条直角边长分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，斜边长是4，小正方形的面积是1。根据以上信息，先将 $\text{[math]}$ 因式分解，再求值。

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18. 在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式： $\text{[math]}$ 因式分解的结果为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，此时可以得到六位数的数字密码171920．

（1）根据上述方法，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，对于多项式 $\text{[math]}$ 分解因式后可以形成哪些数字密码（写出三个）

（2）若一个直角三角形的周长是30，斜边长为13，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式 $\text{[math]}$ 分解因式后得到的六位数的数字密码（只需一个即可）；

（3）若多项式 $\text{[math]}$ 因式分解后，利用本题的方法，当 $\text{[math]}$ 时可以得到其中一个六位数的数字密码为242834，求m、n的值．

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19. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及到了高中还要学习的十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如 $\text{[math]}$ ，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：
$\text{[math]}$

这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：

（1）分解因式 $\text{[math]}$ ；

（2） $\text{[math]}$ 三边 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 的形状．

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20. 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：
①用配方法分解因式： $\text{[math]}$ ．

解：原式： $\text{[math]}$

② $\text{[math]}$ ，利用配方法求M的最小值．

解： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

∴当 $\text{[math]}$ 时，M有最小值4．

请根据上述材料解决下列问题：

（1）用配方法因式分解 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求M的最小值．

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21. 我们把多项式 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如：分解因式 $\text{[math]}$ ；例如求代数式 $\text{[math]}$ 的最小值．由 $\text{[math]}$ 可知，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 有最小值，最小值是 $\text{[math]}$ ．
根据阅读材料用配方法解决下列问题；

（1）分解因式： $\text{[math]}$ ；

（2）当a，b为何值时，多项式 $\text{[math]}$ 有最小值，并求出这个最小值；

（3）当a，b为何值时，多项式 $\text{[math]}$ 有最小值，并求出这个最小值．

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22. 我们来规定下面两种数：
①平方和数：若一个三位或者三位以上的正整数分成左、中、右三个数后满足：中间数＝（左边数）²+（右边数）² ，我们就称该整数是平方和数，例如：整数 $\text{[math]}$ ，它的中间数是5，左边数是2，右边数是1，∵ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ 是平方和数；再例如： $\text{[math]}$ ， ∵ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ 是一个平方和数；当然152， $\text{[math]}$ 这两个数也肯定是平方和数；
②双倍积数：若一个三位或者三位以上的正整数分成左、中、右三个数后满足：中间数＝2×左边数×右边数，我们称该整数是双倍积数；例如：整数 $\text{[math]}$ ，它的中间数是4，左边数是1，右边数是2，∵ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ 是一个双倍积数；再例如： $\text{[math]}$ ， ∵ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ 是一个双倍积数；当然， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 也是一个双倍积数；
注意：在下列问题中，我们统一用字母a表示一个正整数分出来的左边数，用字母b表示一个正整数分出来的右边数，请根据上述定义完成下面问题：

（1）如果一个三位正整数为平方和数，且十位数字是4，则该三位整数是；如果一个三位正整数为双倍积数，十位数字是8，则该三位整数是；

（2）若一个正整数既是平方和数，又是双倍积数，试探究a、b的数量关系，并说明理由；

（3）若正整数 $\text{[math]}$ 为一个平方和数， $\text{[math]}$ 为一个双倍积数，求 $\text{[math]}$ 的值．

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2024年北师大版数学八（下）微素养核心突破7 因式分解的应用

一、选择题

二、填空题

三、综合题

四、实践探究题

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一、选择题

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