2023年吉林省中考数学真题变式题：第二十四题

1.

（1）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形 $\text{[math]}$ ．转动其中一张纸条，发现四边形 $\text{[math]}$ 总是平行四边形其中判定的依据是．

（2）【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将它们按图②放置， $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 分别交于点M，N．求证： $\text{[math]}$ 是菱形．

（3）【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条 $\text{[math]}$ 不动，将平行四边形纸条 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 平移，且 $\text{[math]}$ 始终在边 $\text{[math]}$ 上．当 $\text{[math]}$ 时，延长 $\text{[math]}$ 交于点P，得到图③．若四边形 $\text{[math]}$ 的周长为40， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为锐角），则四边形 $\text{[math]}$ 的面积为．

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2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（1）试判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由．

（2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

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3. 已知点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是平行四边形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求平行四边形 $\text{[math]}$ 的周长．

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4. 如图，已知在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E ，点F在AD上，AF＝AB ，连接BF交AE于点O ，连接EF ．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若BF＝8，AB＝5，求AE的长．

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5. 如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，连接EF．求证：四边形ABEF是菱形．

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6. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H，连接EF，GH．

（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；

（2）当AB＝CD时，EF与GH有怎样的位置关系？请说明理由．

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7. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC ， AB＝AD ，对角线AC ， BD交于点O ， AC平分∠BAD ，过点C作CE⊥AB ，交AB的延长线于点E ，连接OE ．

（1）求证：四边形ABCD是菱形．

（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长．

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8. 如图，平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为起点， $\text{[math]}$ 的速度沿 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边运动，设点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 运动的时间为 $\text{[math]}$ 秒 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 边上高 $\text{[math]}$ 的长度；

（2）连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为何值时，四边形 $\text{[math]}$ 为菱形；

（3）作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为何值时，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形．

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9. 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是对角线，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 延长线上的一点，在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上截取 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 试判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由．

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10. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

（1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形；

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

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11. 如图所示，四边形ABCD为平行四边形，AE平分 $\text{[math]}$ 交BC于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交AD于点 $\text{[math]}$ ，连结BF.

（1）求证：BF平分 $\text{[math]}$ .

（2）若 $\text{[math]}$ ，且四边形ABCD与四边形CEFD相似，求BC的长.

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12. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 边上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）如果 $\text{[math]}$ 那么四边形 $\text{[math]}$ 是形；

（2）如果 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线，那么四边形 $\text{[math]}$ 是形；

（3）如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线，那么四边形 $\text{[math]}$ 是 ▲ 形，证明你的结论 $\text{[math]}$ 仅需证明第 $\text{[math]}$ 题结论 $\text{[math]}$

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13. 如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD=60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE=OF．点E关于AD ，AB的对称点为E₁ ， E₂；点F关于BC，CD的对称点为F₁ ， F₂_，在整个过程中，四边形E₁E₂F₁F₂形状的变化依次是（）

A . 菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B . 菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形 C . 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D . 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形

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14. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB=2CD，E为AB的中点，连结CE．

（1）求证：四边形AECD为菱形；

（2）若∠D=120°，DC=2，求△ABC的面积

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15. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）当 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 中点时，四边形 $\text{[math]}$ 是什么特殊四边形？说明你的理由；

（3）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，则当 $\text{[math]}$ 的大小满足什么条件时，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形？请说明你的理由．

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16. 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中，点E在 $\text{[math]}$ 边上，仅用无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹，不需要写作法．

（1）如图1，在 $\text{[math]}$ 上画点F，使四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；

（2）如图2，在 $\text{[math]}$ 上画点K，使 $\text{[math]}$ ；

（3）如图3，若点G在 $\text{[math]}$ 上，在 $\text{[math]}$ 上画点H，使四边形 $\text{[math]}$ 是菱形．

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17. 在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上的两个动点，分别从 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 同时出发相向而行，速度均为 $\text{[math]}$ ，运动时间为 $\text{[math]}$ 秒，当其中一个动点到达后就停止运动．

（1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中点，求证：四边形 $\text{[math]}$ 始终是平行四边形．

（2）在(1)条件下，当 $\text{[math]}$ 为何值时，四边形 $\text{[math]}$ 为矩形．

（3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是折线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点，与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相同的速度同时出发，当 $\text{[math]}$ 为何值时，四边形 $\text{[math]}$ 为菱形．

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18. 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，过点D作 $\text{[math]}$ 的角平分线交 $\text{[math]}$ 于点E，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点O， $\text{[math]}$ ．

（1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形；

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的周长为36，求菱形 $\text{[math]}$ 的面积．

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19. 在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， E、F分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 边上的动点，以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为边作平行四边形 $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点O，若 $\text{[math]}$ ．
①试说明 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系；
②线段 $\text{[math]}$ 最小值是 ▲ ；

（2）如图2，若四边形 $\text{[math]}$ 为菱形，判断线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由．

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20. 在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=8cm，AD=16cm，BC=22cm，∠ABC=90°．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．

（1）当t=时，四边形ABQP成为矩形？

（2）当t=时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？

（3）四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度．

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2023年吉林省中考数学真题变式题：第二十四题

一、原题重现

二、变式基础练

三、变式提升练

四、变式培优练

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