华师大版备考2023中考数学二轮复习专题37 定义新运算

1. 新定义运算： $\text{[math]}$ ，则方程 $\text{[math]}$ 的根的情况是（）

A . 有两个不相等的实数根 B . 有两个相等的实数根 C . 没有实数根 D . 无法判断

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2. 已知两圆相交，当每个圆的圆心都在在另一个圆的圆外时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”．已知两圆“外相交”，且半径分别为2和5，则圆心距的取值可以是（）

A . 4 B . 5 C . 6 D . 7

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3. 定义新运算“⊕”如下：当a＞b时，a⊕b＝ab+b；当a＜b时，a⊕b＝ab-b，若3⊕（x+2）＞0，则x的取值范围是（）

A . -1＜x＜1或x＜-2 B . x＜-2或1＜x＜2 C . -2＜x＜1或x＞1 D . x＜-2或x＞2

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4. 设[a]是有理数，用[a]表示不超过a的最大整数，如[1.7]＝1，[﹣1]＝﹣1，[0]＝0，[﹣1.2]＝﹣2，则在以下四个结论中，正确的是（）

A . [a]+[﹣a]＝0 B . [a]+[﹣a]=0或﹣1 C . [a]+[﹣a]≠0 D . [a]+[﹣a]=0或1

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5. 若规定“!”是一种数学运算符号，且1!＝1，2!＝2×1＝2，4!＝4×3×2×1＝24，…，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 9900 B . 99! C . $\text{[math]}$ D . 2

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6. 已知点P的坐标为（a，b），其中a，b均为实数，若a，b满足3a＝2b+5，则称点P为“和谐点”．若点M（m﹣1，3m+2）是“和谐点”，则点M所在的象限是（）

A . 第四象限 B . 第三象限 C . 第二象限 D . 第一象限

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7. 将4个数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成 $\text{[math]}$ ，并规定 $\text{[math]}$ 例如 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的根的情况为（）

A . 只有一个实数根 B . 有两个相等的实数根 C . 有两个不相等的实数根 D . 没有实数根

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8. 函数 $\text{[math]}$ 叫做高斯函数，其中x为任意实数， $\text{[math]}$ 表示不超过x的最大整数．定义 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的个数为（）
① $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ ；
③高斯函数 $\text{[math]}$ 中，当 $\text{[math]}$ 时，x的取值范围是 $\text{[math]}$ ；
④函数 $\text{[math]}$ 中，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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9. 对多项式x-y-z-m-n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：(x-y)-(z-m-n)=x-y-z+m+n，x-y-(z-m)-n = x-y-z+m-n，……，
给出下列说法：

①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等； ②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0； ③所有的“加算操作”共有 8 种不同的结果．以上说法中正确的个数为（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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10. 定义：平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 的横坐标x的绝对值表示为 $\text{[math]}$ ，纵坐标y的绝对值表示为 $\text{[math]}$ ，我们把点 $\text{[math]}$ 的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点 $\text{[math]}$ 的折线距离，记为 $\text{[math]}$ （其中的“＋”是四则运算中的加法），若抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 只有一个交点M，已知点M在第一象限，且 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，则t的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 定义一种运算： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 。

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12. 对于有理数 $\text{[math]}$ 定义了一种新运算“*”，规定： $\text{[math]}$ ，例如：
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ．

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13. 定义 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 互容，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互容，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 定义新运算“*”为： $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 时，计算 $\text{[math]}$ 的结果为。

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15. 如果关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有正整数解，那么正整数 $\text{[math]}$ 的所有可能取值之和为．

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16. 我们把对非负数x “四舍五入”到个位的值记为 $\text{[math]}$ ，即当n为非负整数时，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，例如 $\text{[math]}$ 下列结论中：① $\text{[math]}$ ；②当m为非负整数时， $\text{[math]}$ ；③满足 $\text{[math]}$ 的非负整数x只有两个．其中结论正确的是(填序号)

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17. 约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．

示例：即 $\text{[math]}$ ．

如图，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 号时，求Z的值．

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18. 用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝ $\text{[math]}$ ．如：1※2 $\text{[math]}$ ．求（－2）※ $\text{[math]}$ 值．

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19. 定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m²n＋n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算. 例如：－3☆2＝(－3)²×2＋2＝20.根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x²－bx＋a＝0的根的情况.

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20. 在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（x，y），则定义：d（x，y）＝|x|+|y|为点P到坐标原点O的“折线距离”.

（1）若已知P（-2，3），则点P到坐标原点O的“折线距离”d（-2，3）＝；

（2）若点P（x，y）满足2x+y＝0，且点P到坐标原点O的“折线距离”d（x，y）＝6，求出P的坐标；

（3）若点P到坐标原点O的“折线距离”d（x，y）＝3，试在坐标系内画出所有满足条件的点P构成的图形，并求出该图形的所围成封闭区域的面积.

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21. 对于平面直角坐标系中的任意两点P₁（x₁ ， y₁），P₂（x₂ ， y₂），我们把|x₁-x₂|+|y₁-y₂|叫做P₁、P₂两点间的直角距离，记作d（P₁ ， P₂）.

（1）令P₀（2，-3），O为坐标原点，则d（O，P₀）＝；

（2）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）＝1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；

（3）设P₀（x₀ ， y₀）是一定点，Q（x，y）是直线y＝ax+b上的动点，我们把d（P₀ ， Q）的最小值叫做P₀到直线y＝ax+b的直角距离. 若P（a，-3）到直线y＝x+1的直角距离为6，求a的值.

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22. 阅读材料：
我们定义：如果两个实数的差等于这两个实数的商，那么这两个实数就叫做“差商等数对”．即：如果 $\text{[math]}$ ，那么α与b就叫做“差商等数对”，记为 $\text{[math]}$ ．例如： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；则称数对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是“差商等数对”．
根据上述材料，解决下列问题：

（1）下列数对中，“差商等数对”是（填序号）；
① $\text{[math]}$ ② $\text{[math]}$ ③ $\text{[math]}$

（2）如果 $\text{[math]}$ 是“差商等数对”，请求出a的值；

（3）在（2）的条件下，先化简再求值： $\text{[math]}$ ．

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23. 我们新定义一种三角形：如果一个三角形两条边的平方和等于第三边平方的4倍，那么这个三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是4， $\text{[math]}$ 和8，因为 $\text{[math]}$ ，所以这个三角形是常态三角形．

（1）若△ABC三边长分别是5，6和8，请判断此三角形是否为常态三角形，并说明理由；

（2）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°， BC＝ $\text{[math]}$ ，点D为AB的中点，连接CD，若△ACD是常态三角形，求AC的长.

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华师大版备考2023中考数学二轮复习专题37 定义新运算

一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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